Residue
复积分和复级数理论结合的产物
复变函数理论中的一个重要概念，通常出现在复分析领域，特别是在处理闭合曲线积分时。
一个函数 f(z) 在点 z=a 处的留数，可以理解为函数 f(z) 在 z=a 处的“局部性态”的一个度量，它对于计算闭合路径上的积分非常有用，留数常应用在某些特殊类型的实积分中，从而大大简化积分的计算过程。（见留数的应用）
一、基本定义
z0 为 f(z) 的一个孤立奇点，f(z) 在 0<∣z−z0∣<R 内解析，则 f(z) 在 0<∣z−z0∣<R 内的洛朗级数为：
f(z)= & \cdots+c_{-n}(z-z_{0})^{-n}+\cdots+c_{-1}(z-z_{0})^{-1} +\\
& c_{0}+c_{1}(z-z_{0})+\cdots+c_{n}(z-z_{0})^{n}+\cdots
\end{align}$$
$$\begin{align}
\oint_{C} f(z)dz=2\pi ic_{-1} \quad \Rightarrow\quad c_{-1}&=\dfrac{1}{2\pi i}\oint_{C}f(z)dz =Res\left[f(z),z_{0}\right]
\end{align}$$
$Res[f(z),z_{0}]$ 称为 $f(z)$ 在 $z_{0}$ 的**留数**，即圆环域内洛朗级数中**负幂项 $(z-z_{0})^{-1}$ 的系数** $c_{-1}$
### 二、留数求积分
**留数定理**：函数 $f(z)$ 在区域 $D$ 内除有限个孤立奇点 $z_{1},z_{2},\cdots,z_{n}$ 外处处解析，$C$ 是 $D$ 内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，则有：([[复合闭路定理\|复合闭路定理]])
$$\begin{align}
\oint_{C}f(z)dz=2\pi i\sum\limits_{k=1}^{n} Res\left[f(z),z_{k}\right]
\end{align}$$
### 三、计算方法
根据孤立奇点的不同，采用不同的留数计算方法
#### 1. 可去奇点和本性奇点
- ==可去奇点==：$Res[f(z),z_{0}]=0$
- ==本性奇点==：展开成洛朗级数，求 $c_{-1}$
>[!important] 注意
>
>如果无穷远点为可去奇点，它的留数不能简单地认为和一般的可去奇点一样为 0
>注意留数的根本定义：为负幂项的系数 $c_{-1}$
#### 2. 极点（主要）
**方法 1**：
- 级数为 1：$Res[f(z),z_{0}]=\lim\limits_{ z \to z_{0} }(z-z_{0})f(z)$
- 级数为 m：
$$\begin{align}
Res[f(z),z_{0}]= \dfrac{1}{(m-1)!} \lim\limits_{ z \to z_{0} } \dfrac{\mathrm{d}^{m-1} }{\mathrm{d} z^{m-1}} \left[(z-z_{0})^{m}f(z)\right]
\end{align}$$
例如二重极点时：
$$\begin{align}
Res[f(z),z_{0}]= \lim\limits_{ z \to z_{0} } \dfrac{\mathrm{d}^{} }{\mathrm{d} z^{}} \left[(z-z_{0})^{2}f(z)\right]
\end{align}$$
> [!important] 重要！
>
> 本方法只适用于分母为形如 $(z-z_{0})$ 的幂次，否则不可使用；
> **可使用此来求[[有理函数\|有理分式分解]]的系数**，在**积分变换中经常使用**。
**方法二**：**直接利用洛朗级数展开**，求 $c_{-1}$，如果高阶导数求解较复杂，而级数展开较为容易时使用
**方法三**：
$f(z)= \dfrac{P(z)}{Q(z)}$, $P(z),Q(z)$ 都在 $z_{0}$ 处解析，$P(z_{0})\neq 0,Q(z_{0})=0,Q'(z_{0})\neq 0$，$z_{0}$ 为**一级极点**
则留数为： $Res[f(z),z_{0}]= \dfrac{P(z_{0})}{Q'(z_{0})}$
大多数时候使用此法较为方便
$$\begin{align}
Res[f(z),z_{0}]&=\lim\limits_{ z \to z_{0} }(z-z_{0})f(z) =\lim\limits_{ z \to z_{0} } \dfrac{P(z)}{\dfrac{Q(z)-Q(z_{0})}{z-z_{0}}} =\dfrac{P(z_{0})}{Q(z_{0})'}
\end{align}$$
### 四、在无穷远点的留数
函数 $f(z)$ 在圆环域 $R<|z|<+\infty$ 内**解析**，$C$ 为**圆环域内**绕原点的任何一条简单闭曲线
$$\begin{align}
Res[f(z),\infty]= \dfrac{1}{2\pi i} \oint_{-C} f(z)dz
\end{align}$$
- 积分路线取**顺时针方向**（反方向）
- $Res[f(z),\infty]=-c_{-1}$
>[!important] 注意
>
>无穷远点处的留数为**负幂项的系数** $c_{-1}$ 的负数
>一般计算，如果不好展开，使用下面的计算公式（见下）
函数 $f(z)$ 在扩充复平面内只有有限个孤立奇点，则函数在所有各奇点(包括 $\infty$)的留数之和必为 0
可以通过计算无穷远点的留数来计算其他孤立奇点的留数之和，来简化积分的计算：
根据留数定理有：
$$\begin{align}
\oint_{C}f(z)dz&=2\pi i \sum\limits_{k=1}^{n}Res[f(z),z_{k}] =-2\pi iRes[f(z),\infty]
\end{align}$$
无穷远点处的留数计算，也可使用此公式：
$$\begin{align}
Res[f(z),\infty]=-Res\left[f(\dfrac{1}{z})\cdot \dfrac{1}{z^{2}},0\right]
\end{align}$$
>因为无穷远点处的留数没有像一般极点的诸多求法，所以如果不好展开
>用上面的公式较多，且要 **注意符号**
则积分也可表示为：
$$\begin{align}
\oint_{C}f(z)dz=2\pi iRes\left[f(\dfrac{1}{z})\cdot \dfrac{1}{z^{2}},0\right]
\end{align}$$
转为对 $0$ 的留数的讨论
>如果积分区域内的奇点过多，可以考虑此法计算积分
>但是也要注意定理的使用条件：要求积分的曲线 $C$ 外，除了无穷远点为奇点以外，没有其他奇点
### 五、留数的证明
$$\begin{align}
f(z)= & \cdots+c_{-n}(z-z_{0})^{-n}+\cdots+c_{-1}(z-z_{0})^{-1}\\
& +c_{0}+c_{1}(z-z_{0})+\cdots+c_{n}(z-z_{0})^{n}+\cdots \\
\oint_{C} f(z)dz= & \cdots+\oint_{C} c_{-n}(z-z_{0})^{-n}dz+\cdots+\oint_{C} c_{-1}(z-z_{0})^{-1}dz \\
& +\oint_{C} c_{0}dz+\oint_{C} c_{1}(z-z_{0})dz+\cdots
\end{align}$$
由 [[柯西积分定理\|柯西积分定理]]知：正项幂的部分的积分全为 0
由[[解析函数的高阶导数\|解析函数的高阶导数]]知：负项幂（除掉 $c_{-1}$）的部分的积分全为 0
则可以得到：
$$\begin{align}
\oint_{C} f(z)dz&=2\pi ic_{-1}
\end{align}$$
$$\begin{align}
\oint_{C^{-}}f(z)dz&=\oint_{C^{-}} f(\dfrac{1}{z})d \dfrac{1}{z} \\
&=-\oint_{C}f(\dfrac{1}{z})(-\dfrac{1}{z^{2}})dz \\
&=\oint_{C} f(\dfrac{1}{z}) \dfrac{1}{z^{2}}dz \\
z\to \infty, & \dfrac{1}{z}\to 0
\end{align}$$
>[!warning] 注意
>
>上面的并非严格的证明过程！
