矩阵空间

定义

Matrix Space 矩阵空间是把同型矩阵当作“向量”来处理的向量空间。在 3.1 的基本例子中，$M$ 表示所有实 $2\times 2$ 矩阵：

$$M=\left\{\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]:a,b,c,d\in \mathbb{R}\right\}.$$

更一般地，所有 $m\times n$ 实矩阵构成

$$M_{m,n}(\mathbb{R}).$$

矩阵空间中的加法和数乘按对应位置进行：

$$\alpha A+\beta B=\left[\begin{array}{ccc}\alpha a_{11}+\beta b_{11}& \cdots & \alpha a_{1n}+\beta b_{1n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ \alpha a_{m1}+\beta b_{m1}& \cdots & \alpha a_{mn}+\beta b_{mn}\end{array}\right].$$

结果仍是 $m\times n$ 矩阵，所以矩阵空间对线性组合封闭。

零矩阵和维数

矩阵空间的零向量是零矩阵。例如 $M$ 中的零向量是

$$\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right].$$

$M_{m,n}(\mathbb{R})$ 的维数是 $mn$，因为每个位置可以独立给出一个实系数。标准基矩阵 $E_{ij}$ 在第 $(i,j)$ 个位置为 $1$，其余位置为 $0$。任意矩阵都能唯一写成

$$A=\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{E}_{ij}.$$

因此所有 $2\times 2$ 矩阵的空间 $M$ 是四维向量空间，尽管它的元素看起来不是列向量。

典型子空间

矩阵空间内部有许多子空间。所有上三角 $2\times 2$ 矩阵构成

$$U=\left\{\left[\begin{array}{cc}a& b\\ 0& d\end{array}\right]:a,b,d\in \mathbb{R}\right\}.$$

它对加法和数乘封闭，所以是 $M$ 的子空间。

所有对角矩阵构成

$$D=\left\{\left[\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& d\end{array}\right]:a,d\in \mathbb{R}\right\}.$$

它既是 $M$ 的子空间，也是 $U$ 的子空间。所有形如 $cI$ 的矩阵构成

$$\{cI:c\in \mathbb{R}\},$$

这是一条矩阵空间中的直线。

对称矩阵

$$A^T=A$$

也构成子空间，因为对称性在加法和数乘下保持。反对称矩阵 $A^T=-A$ 同样构成子空间。

常见非子空间

单独的非零矩阵不是子空间。例如 $\{I\}$ 不对数乘封闭，因为 $2I\notin \{I\}$，也不包含零矩阵。只有 $\{0\}$ 这样的单点集合才是子空间。

所有可逆矩阵不是子空间，因为它不包含零矩阵，也不对加法封闭。所有奇异矩阵也不是子空间，例如

$$\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right]=I,$$

左边两个矩阵都奇异，和却可逆。

固定行列式、固定秩、固定迹为非零常数的矩阵集合通常也不是子空间。相反，由齐次线性条件定义的矩阵集合常常是子空间，例如 $b=c$ 定义的对称 $2\times 2$ 矩阵空间。

与列空间的区别

矩阵空间的元素是矩阵；列空间的元素是列向量。给定 $A\in {\mathbb{R}}^{m\times n}$，$C(A)$ 是 ${\mathbb{R}}^m$ 的子空间，而不是矩阵空间 $M_{m,n}(\mathbb{R})$ 的子空间。

不过二者都由线性组合组织。矩阵空间中组合的是矩阵本身，列空间中组合的是某个固定矩阵的列向量。理解这个区别可以避免把“矩阵作为向量”和“矩阵的列作为向量”混在一起。

与函数空间和多项式空间的类比

矩阵空间说明，向量空间的元素可以是复合对象。函数空间把函数当作向量，多项式空间把多项式当作向量；矩阵空间把矩阵当作向量。它们共同依赖同一个判断原则：任意线性组合必须仍留在同一集合中。