Surface
一、空间曲面基本概念
曲面 的方程:
F(x,y,z)=0 \end{align}$$ - 如果曲面 $S$ 上任意一点的坐标都满足方程 - 不在曲面 $S$ 上的点的坐标都不满足方程 则三元方程称为曲面 $S$ 的方程 ### 二、曲面的切平面和法线 #### 1. $F(x,y,z)=0$ 对于曲面方程 $F(x,y,z)=0$ - **切平面方程**：$\quad F_{x}(x_{0},y_{0},z_{0})(x-x_{0})+F_{y}(x_{0},y_{0},z_{0})(y-y_{0})+F_{z}(x_{0},y_{0},z_{0})=0$ - **法线方程**：$\quad \dfrac{x-x_{0}}{F_{x}(x_{0},y_{0},z_{0})}= \dfrac{y-y_{0}}{F_{y}(x_{0},y_{0},z_{0})}=\dfrac{z-z_{0}}{F_{z}(x_{0},y_{0},z_{0})}$ #### 2. $z=f(x,y)$ $$\begin{align} F(x,y,z)=f(x,y)-z=0 \quad \Rightarrow\quad \begin{cases} F_{x}(x,y,z)=f_{x}(x,y) \\ F_{y}(x,y,z)=f_{y}(x,y) \\ F_{z}(x,y,z)=-1 \end{cases} \end{align}$$ - **法向量**： $\quad \mathbf{n}=(f_{x}(x_{0},y_{0}),f_{y}(x_{0},z_{0}),-1)$ - **切平面方程**：$\quad f_{x}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})+f_{y}(x_{0},y_{0})-(z-z_{0})=0$ - **法线方程**：$\quad \dfrac{x-x_{0}}{f_{x}(x_{0},y_{0})}= \dfrac{y-y_{0}}{f_{y}(x_{0},y_{0})}=\dfrac{z-z_{0}}{-1}$ 看切平面方程：函数 $z=f(x,y)$ 的[[全微分\|全微分]]在几何上表示曲面 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_{0},y_{0},z_{0})$ 处切平面上点的竖坐标增量。 假定法向量方向向上，法向量的方向余弦为： $$\begin{cases} \cos \alpha =\dfrac{-f_{x}}{\sqrt{ 1+f_{x}^{2}+f_{y}^{2} }} \\ \cos \beta=\dfrac{-f_{y}}{\sqrt{ 1+f_{x}^{2}+f_{y}^{2}}} \\ \cos \gamma= \dfrac{1}{\sqrt{ 1+f_{x}^{2}+f_{y}^{2}}} \end{cases}$$ ### 三、曲面的面积 对于曲面方程特殊形式： $z=f(x,y)$ 曲面的面积元素利用**方向余弦**投影到 $xy$ 平面上的面积元素： $$\begin{align} \mathrm{d}A= \dfrac{\mathrm{d} \sigma}{\cos\gamma} =\sqrt{ 1+f_{x}^{2}(x,y)+f_{y}^{2}(x,y) }\;\mathrm{d}\sigma \end{align}$$ 将曲面面积的计算转化为[[二重积分\|二重积分]]的计算： $$\begin{align} A=\iint \limits_{D} \sqrt{ 1+(\dfrac{\partial z}{\partial x} )^{2}+ (\dfrac{\partial z}{\partial y} )^{2}} \;\mathrm{d}x\, \mathrm{d}y \end{align}$$ ### 二次曲面 | 方程 | | | | ------------------------------------------------------------------ | -------------- | --- | | $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=z^{2}$ | 椭圆锥面 | | | $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}+\dfrac{z^{2}}{c^{2}}=1$ | 椭球面 | | | $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}-\dfrac{z^{2}}{c^{2}}=1$ | 单叶双曲面 | | | $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}-\dfrac{z^{2}}{c^{2}}=1$ | 双叶双曲面 | | | $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=z$ | 椭圆抛物面 | | | $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=z$<br>$z=xy$ | 双曲抛物面<br>（马鞍面） | | | $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$ | 椭圆柱面 | | | $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$ | 双曲柱面 | | | $x^{2}=ay$ | 抛物柱面 | |