Linear Transformation 描述了向量空间之间的一种特殊类型的函数关系。线性变换保持了向量加法和标量乘法的结构，是数学和工程学中一个非常强大的工具。
通过矩阵表示，可以方便地进行计算和理论分析。不仅在理论数学中有其基础地位，在实际应用中也极为广泛和重要。
一、基本定义
- 任意给定 有：
- 任意给定 有：
就称为线性映射（即保持线性组合的映射）
更进一步，如果 ，则 是从线性空间 到其自身的线性映射，称为线性变换
基本性质
T\boldsymbol{0}\quad T(-\boldsymbol{\alpha})=-T(\boldsymbol{\alpha}) \end{align}$$ $$\begin{align} \boldsymbol{\beta}=k_{1}\boldsymbol{\alpha}_{1}+\cdots +k_{m}\boldsymbol{\alpha}_{m}\quad T\boldsymbol{\beta}=k_{1}T \boldsymbol{\alpha}_{1}+\cdots +k_{m}T\boldsymbol{\alpha}_{m} \end{align}$$ 若 $\boldsymbol{\alpha}_{1},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n}$ 线性相关，则若 $T\boldsymbol{\alpha}_{1},\cdots,T\boldsymbol{\alpha}_{n}$ 线性相关 线性变换 $T$ 的像集 $T(V_{n})$ 是一个线性空间，称为线性变换的像空间 使 $T\boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{0}$ 的 $\boldsymbol{\alpha}$ 全体也是一个线性空间，称为线性变换的核 $$\begin{align} N_{T}=\left\{\boldsymbol{\alpha} | \boldsymbol{\alpha} \in V_{n},T\boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{0}\right\} \end{align}$$ #### 叠加原理 $$\begin{align} o\{\alpha_{1} f_{1}(t)+\alpha_{2} f_{2}(t)\}&=\alpha_{1}x_{1}(t)+\alpha_{2}x_{2}(t) \end{align}$$ - 可加性/叠加性：$o\{f_{1}(t)+f_{2}(t)\}=x_{1}(t)+x_{2}(t)$ - 齐次性/均匀性：$o\{\alpha f_{1}(t)\}=\alpha x_{1}(t)$ --- ## AI 结构化补充（2026-05-02） **Linear Transformation** 描述了[[向量空间\|向量空间]]之间的一种特殊类型的函数关系。线性变换保持了向量加法和标量乘法的结构，是数学和工程学中一个非常强大的工具。 通过[[矩阵\|矩阵]]表示，可以方便地进行计算和理论分析。不仅在理论数学中有其基础地位，在实际应用中也极为广泛和重要。 ### 一、基本定义 $V_{n},U_{m}$ 分别是 $n$ 维和 $m$ 维[[向量空间\|线性空间]]，$T$ 是 $V_{n}$ 到 $U_{m}$ 的[[映射\|映射]]，如果满足： 1. 任意给定 $\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2}\in V_{n}$ 有： $T(\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2})=T(\boldsymbol{\alpha}_{1})+T(\boldsymbol{\alpha}_{2})$ 2. 任意给定 $\boldsymbol{\alpha} \in V_{n},\lambda \in \mathbb{R}$ 有：$T(\lambda\boldsymbol{\alpha})=\lambda T(\boldsymbol{\alpha })$ 就称为线性映射（即保持线性组合的映射） 更进一步，如果 $U_{m}=V_{n}$，则 $T$ 是从线性空间 $V_{n}$ 到其自身的线性映射，称为**线性变换** ### 线性性公式与零向量 可加性和齐次性可以合并为一个判别式：对任意向量 $v,w$ 和标量 $c,d$，T(cv+dw)=cT(v)+dT(w).
这个公式说明线性变换保持所有有限线性组合。取 $c=0$ 可得T(0)=T(0v)=0T(v)=0,
所以线性变换必须把零向量送到零向量，并且 $T(-v)=-T(v)$。这也是排除许多候选变换的最快方法。 ### 叠加原理 线性系统中的叠加原理就是线性性公式的应用。若算子 $o$ 把输入信号 $f_i(t)$ 映到输出信号 $x_i(t)$，则o{\alpha_1 f_1(t)+\alpha_2 f_2(t)} =\alpha_1x_1(t)+\alpha_2x_2(t).
其中可加性给出 $o\{f_1(t)+f_2(t)\}=x_1(t)+x_2(t)$，齐次性给出 $o\{\alpha f_1(t)\}=\alpha x_1(t)$。只要任意线性组合都按同样系数组合输出，系统就是线性的。 ### 基向量的像决定全部 若 $v_1,\ldots,v_n$ 是输入空间 $V$ 的一组基，则任意 $u\in V$ 都能唯一写成u=\sum_{i=1}^n c_i v_i.
T(u)=T\left(\sum_{i=1}^n c_i v_i\right) =\sum_{i=1}^n c_iT(v_i).
因此知道一组基向量的像 $T(v_1),\ldots,T(v_n)$，就知道 $T$ 对全空间的作用。矩阵表示正是这个事实的坐标化：在标准基下，矩阵 $A$ 的第 $i$ 列就是 $T(e_i)$，所以 $T(x)=Ax$。 ### 线性变换矩阵与组合 每个 $m\times n$ 矩阵 $A$ 都定义一个从 $\mathbb R^n$ 到 $\mathbb R^m$ 的线性变换T(x)=Ax,
A(cv+dw)=cAv+dAw.
如果 $S,T$ 都是线性变换，则复合 $ST$ 仍然线性：(ST)(v)=S(T(v)).
在矩阵语言中，复合对应矩阵乘法；先做 $T(x)=Ax$ 再做 $S(y)=By$，总作用是 $BAx$。 ### 典型线性例子与非线性判别 固定向量 $a=(1,3,4)$，定义T(v)=a\cdot v=v_1+3v_2+4v_3,\qquad v=(v_1,v_2,v_3).
这是从 $\mathbb R^3$ 到 $\mathbb R$ 的线性变换，因为点积对输入向量满足加法和数乘分配律；矩阵形式是行矩阵\begin{bmatrix}1&3&4\end{bmatrix} \begin{bmatrix}v_1\v_2\v_3\end{bmatrix}.
长度函数 $L(v)=\|v\|$ 不是线性变换。可加性若成立就应有 $\|v+w\|=\|v\|+\|w\|$，但通常只有三角不等式|v+w|\le |v|+|w|.
|cv|=|c||v|,
当 $c<0$ 时不等于 $c\|v\|$。含平方、坐标乘积、长度、取最大分量等非线性运算的映射通常都不是线性的。 ### 平移与仿射边界 纯平移T(v)=v+u_0
一般不是线性变换。若 $u_0\ne0$，则 $T(0)=u_0\ne0$；同时T(v+w)=v+w+u_0,\qquad T(v)+T(w)=v+w+2u_0.
唯一例外是 $u_0=0$，此时 $T(v)=v$ 退化为恒等变换。更一般的F(v)=Av+u_0
属于[[仿射变换\|仿射变换]]：它保持直线、线段比例和平行性，但在 $u_0\ne0$ 时不保持原点，也不保持任意线性组合。 ### 几何作用：线段、三角形与房子 二维平面绕原点旋转 $30^\circ$ 是线性变换；它的 domain 和 range 都是 $xy$ 平面。矩阵为R_{30^\circ}= \begin{bmatrix} \cos 30^\circ&-\sin 30^\circ\ \sin 30^\circ&\cos 30^\circ \end{bmatrix}.
u=(1-t)v+tw,\qquad 0\le t\le1,
T(u)=(1-t)T(v)+tT(w).
所以中点、三等分点、重心等均分点会被送到对应的均分点。三角形同理：若 $u=\lambda_1v_1+\lambda_2v_2+\lambda_3v_3$ 且 $\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1$，则 $T(u)$ 是输出三角形中相同系数的点。 把一个二维“房子”的顶点排成矩阵 $H$，线性变换会把整栋房子变成 $AH$。这里 $H$ 不是一个抽象代号，而是把 12 个顶点作为列排成的具体坐标：H= \begin{bmatrix} -6&-6&-7&0&7&6&6&-3&-3&0&0&-6\ -7&2&1&8&1&2&-7&-7&-2&-2&-7&-7 \end{bmatrix}.
这些列依次是 $(-6,-7),(-6,2),(-7,1),(0,8),(7,1),(6,2),(6,-7),(-3,-7),(-3,-2),(0,-2),(0,-7),(-6,-7)$，最后一列回到起点以闭合轮廓。例如剪切矩阵A=\begin{bmatrix}1&0\1&1\end{bmatrix}
T(x,y)=(x,x+y),
A\begin{bmatrix}x_j\y_j\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}x_j\x_j+y_j\end{bmatrix}.
作用在上面的 $H$ 上时，第一行坐标保持不变，第二行变成(-13,-4,-6,8,8,8,-1,-10,-5,-2,-7,-13).
它保持 $y$ 轴上的点不动，把 $x>0$ 的顶点向上推、$x<0$ 的顶点向下推。边仍是直线，但角度和长度一般改变；若矩阵秩降低，房子甚至会被压到一条线或一个点。 ### 导数与积分算子 导数是函数空间之间的线性变换。令输入空间为所有二次多项式P_2={a+bx+cx
P_1={p+qx}.
T(u)=\frac{du}{dx}
T(a+bx+cx
相对于输入基 $(1,x,x^2)$ 和输出基 $(1,x)$，矩阵是A_T= \begin{bmatrix} 0&1&0\ 0&0&2 \end{bmatrix}.
u=6-4x+3x
在输入基 $(1,x,x^2)$ 下的坐标是 $(6,-4,3)^T$。矩阵乘法给出\begin{bmatrix} 0&1&0\ 0&0&2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 6\-4\3 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} -4\6 \end{bmatrix},
对应输出基 $(1,x)$ 下的函数\frac{du}{dx}=-4+6x.
它的 kernel 是常数函数空间 $\operatorname{span}\{1\}$，range 是整个 $P_1$。积分算子T^+(f)=\int_0^x f(t),dt
从 $P_1$ 指向 $P_2$，并选取常数项为零的反向代表：T^+(p+qx)=px+\frac12qx
它是伪逆式方向：$T T^+=I_{P_1}$，但 $T^+T$ 不能恢复二次多项式的常数项。 在同一组二次/一次多项式基下，导数矩阵A= \begin{bmatrix} 0&1&0\ 0&0&2 \end{bmatrix}
A^+= \begin{bmatrix} 0&0\ 1&0\ 0&\frac12 \end{bmatrix}.
AA^+=I_2,\qquad A^+A= \begin{bmatrix} 0&0&0\ 0&1&0\ 0&0&1 \end{bmatrix}.
因此先积分再求导恢复所有一次多项式；先求导再积分只保留 $x$ 和 $x^2$ 的坐标，常数项被投影掉。 ### Range、kernel 与可逆性 线性变换的像空间也称 range：\operatorname{range}(T)={T(v):v\in V}\subseteq W.
\ker(T)={v\in V:T(v)=0}.
当 $T(v)=Av$ 时，range 就是矩阵 $A$ 的 column space，kernel 就是矩阵 $A$ 的 nullspace。线性变换可逆的充要条件是：range 覆盖整个输出空间 $W$，并且 kernel 只有零向量。前者保证每个输出都有来源，后者保证来源唯一。 ### 可逆不等于线性 可逆性只说明每个输出有且仅有一个输入来源，不自动推出线性。实数上的x\mapsto x^3,\qquad x\mapsto x+9,\qquad x\mapsto \frac1x\quad(x\ne0)
都是可逆映射，但它们都不是实数向量空间上的线性变换：$x^3$ 不保持加法，$x+9$ 不把 $0$ 送到 $0$，$1/x$ 不保持线性组合。相反，$x\mapsto x^2$ 在 $\mathbb R$ 上不可逆，因为同一个正数通常有两个来源，而负数没有来源。