Harmonic Function
拉普拉斯方程的解
一、基本定义
如果二元实变函数 在区域 内具有二阶连续偏导数，并且满足拉普拉斯方程，则 为区域 内的调和函数：
\dfrac{\partial^{2}{\varphi} }{\partial{x}^{2} }+\dfrac{\partial^{2}{\varphi} }{\partial{y}^{2} }=0 \end{align}$$ **解析函数与调和函数的关系**：任何在区域 $D$ 内[[解析\|解析]]的函数，它的**实部**和**虚部**都是 $D$ 内的**调和函数** 由 [[解析#二、解析的充要条件\|C-R方程]]知: $$\begin{align} \dfrac{\partial u}{\partial x}=\;\;\dfrac{\partial v}{\partial y} \quad \dfrac{\partial u}{\partial y}=-\dfrac{\partial v}{\partial x} \end{align}$$ 对上两式分别对 $x,y$ 求[[偏导数\|偏导数]]： $$\begin{align} \dfrac{\partial^{2}{u} }{\partial{x}^{2} }=\dfrac{\partial^{2}{v} }{\partial{y} \partial{x}} \quad \dfrac{\partial^{2}{u} }{\partial{y}^{2} }=- \dfrac{\partial^{2}{v} }{\partial{x} \partial{y}} \end{align}$$ 所以: $$\dfrac{\partial^{2}{u} }{\partial{x}^{2} }+\dfrac{\partial^{2}{u} }{\partial{y}^{2} }=0$$ 同理: $$\begin{align} \dfrac{\partial^{2}{v} }{\partial{x}^{2} }+\dfrac{\partial^{2}{v} }{\partial{y}^{2} }=0 \end{align}$$ ### 二、共轭调和函数 **共轭调和函数**：已知调和函数 $u(x,y)$，如果存在调和函数 $v(x,y)$ 使得 $u+iv$ 在 $D$ 内构成解析函数，则 $v(x,y)$ 为 $u(x,y)$ 的**共轭调和函数**。（**虚部**为实部的共轭调和函数，注意顺序不能颠倒） #### 1. 偏积分法 已知一个调和函数 $u$, 利用**C-R方程**求得共轭调和函数 $v$，构成解析函数 $u+vi$ $$\begin{align} & \dfrac{\partial u}{\partial x}\quad \dfrac{\partial u}{\partial y}\quad \dfrac{\partial^{2}{u} }{\partial{x}^{2} }\quad \dfrac{\partial^{2}{u} }{\partial{y}^{2} } \\ & \dfrac{\partial^{2}{u} }{\partial{x}^{2} }+\dfrac{\partial^{2}{u} }{\partial{y}^{2} }=0\to \text{u为调和函数} \\ & \text{使用C-R方程: }\dfrac{\partial v}{\partial y}=\dfrac{\partial u}{\partial x} \\ & v=\int \dfrac{\partial u}{\partial x} \, dy+g(x) \\ & \dfrac{\partial v}{\partial x}=-\dfrac{\partial u}{\partial y} \to g(x)'\to g(x) =\int g(x)'\, dx \to v(x,y)\\ \end{align}$$ #### 2. 不定积分法 已知调和函数 $u(x,y)$ 或 $v(x,y)$，用[[不定积分\|不定积分]]求解析函数的方法 由[[解析函数的高阶导数\|解析函数的高阶导数]]知：**解析函数的导数仍为解析函数** >解析函数的导数可以通过实部或虚部的[[解析#1. 在某点处可导\|导数]]来表示 >当 $\Delta y=0$ 或 $\Delta x=0$ 时 > 导数的极限形式退化为实数域上的导数定义，也即有 $f'(z)=u_{x}+iv_{x}=u_{y}-iu_{y}$ >再结合 C-R方程, 即可推导出导数分别与实部和虚部的关系 $$\begin{align} f'(z)&=u_{x}+iv_{x} \\ &=u_{x}-iu_{y}=U(z) \\ &=v_{y}+iv_{x} =V(z)\\ &=v_{y}-iu_{y} \end{align}$$ - 已知==实部== $u_x$ 求 $f (z)$: $$\begin{align} f(z)&=\int U(z)\, dz+ic=\int u_{x}-iu_{y}\, dz +ic \end{align}$$ >[!important] 注意 > >- 注意是已知实部, 所以不可能实部还会有任意常数, 所以常数为纯虚数 $ic$ >- 还有要注意是对 $z$ 积分, 所以要将包含 $x,y$ 的函数写成 $x+iy=z$ ,用 $z$ 表示函数 >- 还是要计算 $\dfrac{\partial u}{\partial x}\quad \dfrac{\partial u}{\partial y}$ - 已知==虚部== $v_x$ 求 $f (z):$ $$\begin{align} f(z)&=\int V(z)\, dz+c =\int v_{y}+iv_{x}\, dz+c \end{align}$$ >[!important] 重要: > >一个解析函数, 形式为 $u(x,y)+iv(x,y)$ > $u(x,y),v(x,y)$ 都为 $x,y$ 的函数 > 则该解析函数一定可以写为以 $z=x+iy$ 为自变量的函数 $f(z)$ > > 本质是: $x=\dfrac{z+\bar{z}}{2} \quad y=\dfrac{z-\bar{z}}{2i}$ 的代换 > 任何一个关于 $x,y$ 的复变函数都能写成以 $z\quad \overline{z}$ 为自变量的函数, 但是一般 $\overline{z}$ 不解析, 所以只有解析函数才能表示为仅由 $z$ 表示的函数 > - 一定要注意函数解析的充分必要条件: [[解析\|C-R方程]] > - 也要注意: 当已知调和函数求另一个调和函数, 使之构造成解析函数时, 最终要写为关于 $z$ 的函数 $f(z)$ > 当使用不定积分法求解析函数时, 要注意到 $f'(z)$ 也为解析函数, 也为 $z$ 的函数, 然后再对 $z$ 求积分, 得到最终结果 $(x+iy)^{3}=x^{3}-iy^{3}-3xy^{2}+3ix^{2}y$ $$\begin{align} u(x,y)&=x^{3}-6x^{2}y-3xy^{2}+2y^{3} \\ v(x,y)&=3x^{2}y-6xy^{2}-y^{3}+2x^{3}+c \\ f(z)&=u+iv=z^{3}+2iz^{3}+c \end{align}$$