李雅普诺夫第二法

Lyapunov’s Second Method

直接法：构造李雅普诺夫函数从能量的观点进行稳定性分析

Description

前置知识：正定矩阵 二次型 能 偏导数 状态空间 Lyapunov稳定性
相关：神经网络的稳定性

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一、标量函数的符号性质

1. 标量函数的符号性质

$V(\mathbf{x})$ 为 $n$ 维矢量 $\mathbf{x}$ 定义的标量函数，$\mathbf{x}\in \Omega$，$V(0)\equiv 0$，且对于 $\mathbf{x}\ne 0$ 有：

• $V(\mathbf{x})>0$ 正定 $V(\mathbf{x})\ge 0$ 半正定
• $V(\mathbf{x})<0$ 负定 $V(\mathbf{x})\le 0$ 半负定
• $V(\mathbf{x})>0,V(\mathbf{x})<0$ 不定

2. 二次型标量函数的符号性质

二次型函数： $V(\mathbf{x})={\mathbf{x}}^{T}P\mathbf{x}$，$P$ 为实对称矩阵

• $P$ 正定，$V(\mathbf{x})$ 正定，$P>0$，所有特征值均大于零
• $P$ 负定，$V(\mathbf{x})$ 负定，$P<0$

3. 希尔维斯特判据

计算各阶主子行列式 ${\Delta }_i$ 矩阵正定：${\Delta }_i>0$ 矩阵负定：${\Delta }_i=\{\begin{array}{l}<0\text{i 为奇数}\\ >0\text{i 为偶数}\end{array}$

二、稳定性判据

如果沿状态轨线方向计算的时间导数 $\frac{\mathrm{d}V(\mathbf{x})}{\mathrm{d}t}$ 是负定的，则系统为渐进稳定的。

2.1. 李雅普诺夫函数

李雅普诺夫函数：

1. 定义的一个正定的标量函数 $V(\mathbf{x})$ 作为虚构的能量函数 （$x=0,V(x)=0;x\ne 0,V(x)>0$）
2. 对所有的状态变量 $\mathbf{x}$ 都具有一阶连续偏导数。

要根据系统结构参数选取，不过一般可以考虑 $V(\mathbf{x})={\mathbf{x}}_1^2+{\mathbf{x}}_2^2+\cdots +{\mathbf{x}}_n^2$ 只能表示系统在平衡状态附近某邻域内的局部运动的稳定情况。

2.2 李雅普诺夫函数的时间导数

李雅普诺夫函数沿状态轨线方向计算的时间导数 $\frac{\mathrm{d}V(\mathbf{x})}{\mathrm{d}t}$：

{\color{red} \dot{V}(\mathbf{x})}=\dfrac{\mathrm{d} V(\mathbf{x})}{\mathrm{d} t} = \dfrac{\partial V}{\partial \mathbf{x}} \dfrac{\mathrm{d} \mathbf{x}}{\mathrm{d} t} =\sum\limits_{i=1}^{n} \dfrac{\partial V}{\partial {x}_{i}} \dfrac{\mathrm{d} x_{i}}{\mathrm{d} t} =\color{red} \sum\limits_{i=1}^{n} \dfrac{\partial V}{\partial {x}_{i}} \times\dot{x}_{i} \end{align}$$ #### 2.3 稳定性判断 如果时间导数正负定判定为： 1. 半负定：一般而言可以判定**系统稳定**（不一定渐进稳定） - 如果除去 $\mathbf{x}=\mathbf{0}$ 外，$\dot{V}(\mathbf{x})$ 不恒为零，则原点平衡状态是渐进稳定的 - 如果 $\dot{V}(\mathbf{x})$ 恒为零，运动轨迹不会收敛于原点，会落到某个特定曲面（超球面/极限环） $V(\mathbf{x})=C$ 上，只是稳定，而非渐进稳定 2. **负定**：原点平衡状态**渐进稳定**。当 $\left\lvert \left\lvert \mathbf{x} \right\rvert \right\rvert \to \infty,V(\mathbf{x})\to \infty$，则进一步得到系统**大范围渐进稳定** 3. 正定：**系统不稳定** 对于给定系统，如果能找到满足判据条件的函数就能对系统稳定性进行肯定的判断。但是只是**充分**而非必要的，如果找不到，就不能判断稳定性。 ### 实际例题 $$\begin{align} V(\mathbf{x})=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}>0\quad \dot{V}(\mathbf{x})=2x_{1}\dot{x}_{1}+2x_{2}\dot{x}_{2} \end{align}$$