状态空间

State Space

系统的内部描述方法

一、基本概念

状态：是描述系统在某一时刻所具有的特定属性(运动信息)和行为的集合。 提供了一种理解和描述系统的基本框架，无论是自然界的物理系统，还是人造的计算机系统，或是社会经济系统，状态都是不可或缺的。

状态变量: 确定系统状态，完全描述系统的一组独立的、数目最小的变量。 对于确定系统的状态是充分必要的，n 阶系统使用 n 个状态变量描述，它包含了系统的所有相关信息, 可以用来预测系统在未来的行为。 $x(t),\dot{x}(t),\cdots ,x^{(n-1)}(t)$ （状态变量的个数等于微分方程的阶数，也即独立的储能元件的个数）

状态向量：将描述系统状态的 $n$ 个状态变量看作向量的分量

\mathbf{x}(t)=\begin{bmatrix} x(t), \dot{x}(t),\cdots,x^{(n-1)}(t) \end{bmatrix}^{T} \end{align}$$ **==状态空间==**：以 $n$ 个**状态变量为基底**所组成的 $n$ 维空间 ### 二、状态空间表达式 状态空间表达式通常由两个方程表示，构成对一个系统的完整描述： - **==状态方程==** **一阶向量微分方程/差分方程**的形式：表征输入变量和内部变量的因果关系。 - **==输出方程==** **向量代数方程**的形式：表征系统内部变量、输入变量、输出变量之间的转换关系。 得到具体的状态空间表达式见[[状态空间表达式的建立\|状态空间表达式的建立]] #### 1.连续形式 $$\begin{align} \dot{\mathbf{x}}(t)&=\mathbf{A}(t) \mathbf{x}(t)+ \mathbf{B}(t) \mathbf{u}(t) \\ \mathbf{y}(t)&=\mathbf{C}(t)\mathbf{x}(t)+\mathbf{D}(t) \mathbf{u}(t) \end{align}$$ #### 2.离散形式 $$\begin{gathered} \mathbf{x}(k+1) =\mathbf{G}(k)\mathbf{x}(k)+\mathbf{H}(k)\mathbf{u}(k) \\ \mathbf{y}(k) =\mathbf{C}(k)\mathbf{x}(k)+\mathbf{D}(k)\mathbf{u}(k) \end{gathered}$$ #### 状态空间表达式的矩阵维度关系 | 物理意义 | 符号表示 | 维度 | | | :-------------------: | :--------------------------------: | :---------: | --------------- | | 状态向量 | $\mathbf{x}$ | $n$ | | | 输入向量 | $\mathbf{u}$ | $r$ | | | 输出向量 | $\mathbf{y}$ | $m$ | | | **系统矩阵**/状态矩阵 | $\mathbf{A}(t)$ $\mathbf{G}(k)$ | $n\times n$ | 表征系统的内部状态 | | 控制矩阵/输入矩阵 | $\mathbf{B}(t)$ $\mathbf{H}(k)$ | $n\times r$ | 输入对状态的作用 | | 观测矩阵/输出矩阵 | $\mathbf{C}(t)$ $\mathbf{C}(k)$ | $m\times n$ | 状态变量的组合构成输出的一部分 | | 前馈矩阵/输入输出矩阵<br>直接传递矩阵 | $\mathbf{D}(t)$ $\mathbf{D}(k)$ | $m\times r$ | 输入直接传递构成输出的一部分 |