滞后校正

适用于：未校正系统的动态性能已经满足，但是稳定性能不满足要求

高频幅值衰减特性，使系统的截止频率减小

高频段的校正

利用滞后网络的高频幅值衰减特性，使系统的截止频率减小，获得足够的 $\gamma$

\dfrac{U_{2}(s)}{U_{1}(s)}&= \dfrac{R_{2}+ \dfrac{1}{Cs}}{R_{1}+R_{2}+ \dfrac{1}{Cs}} =\dfrac{1+R_{2}Cs}{1+(R_{1}+R_{2})Cs} \end{align}$$ $$\begin{align} G_{c}(s)&= \dfrac{1+bTs}{1+Ts}\quad b<1 \end{align}$$   ### 相关参数 **分度系数：**$b=\dfrac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}}$ **时间常数：**$T=(R_{1}+R_{2})C$ **转折频率：** $\omega_{1}=\dfrac{1}{T}$ $\omega_{2}=\dfrac{1}{b T}$ - $0<\omega<\omega_{1}$ - $\omega_{1}<\omega<\omega_{2}$ - $\omega_{2}<\omega<+\infty$  **最大滞后角频率:** $$\begin{align} \lg\omega _{m}= \dfrac{1}{2} (\lg \dfrac{1}{T}+ \lg \dfrac{1}{bT}) \end{align}$$ $$\begin{align} \omega _{m}=\sqrt{ \dfrac{1}{bT}\cdot \dfrac{1}{T} }= \dfrac{1}{T\sqrt{ b }} \end{align}$$ **最大滞后角:** $$\begin{align} \varphi_{m}=\arctan \dfrac{b-1}{2\sqrt{ b}}=\arcsin \dfrac{b-1}{b+1} \end{align}$$ 为了提高相角裕度，防止系统不稳定，选择滞后参数，使得**第二个转折频率** $\omega_{2}\ll \omega_{c}''$（**开环截止频率**） $$\begin{align} \dfrac{1}{bT}&= \dfrac{\omega_{c}''}{10} \quad\quad \varphi_{c}(\omega _{c''}) \approx acrtan[0.1(b-1)] \end{align}$$ ### 对系统的影响 - 降低中高频段幅值增益，提高了抗中高频干扰的能力 - 相角滞后，不利于相角裕度的提升（避免最大滞后角发生在已校正系统开环截止频率附近） ### 校正的设计步骤 1. 根据稳态要求，确定**未校正系统的放大系数** $K$ 2. 画出未校正系统 $G_{o}(s)$ 的 Bode 图 (渐近特性图) 求未校正系统的[[稳定裕度\|截止频率]] $\omega_{c}$ 与[[稳定裕度\|相角裕度]] $\gamma$ 3. 根据相位裕度 $\gamma'$ 的要求，确定**未校正系统的相角裕度** $\gamma(\omega_{c}')$ $\gamma'=\gamma(\omega_{c}')+\varphi_{c}(\omega_{c}')$，取 $\varphi_{c}(\omega_{c}')=-6^{\circ}\sim -14^{\circ}$ 以及校正后系统的截止频率 $\omega_{c}'$ 4. 确定**校正系数** $20\lg b+L(\omega_{c}')=0$ 利用滞后校正环节的**高频段**拉低未校正的曲线，降低截止频率，使得相角裕度符合要求$\dfrac{1}{bT}=0.1\omega_{c}'$ 还要保证第二个转折频率远远小于新的截止频率，避免最大滞后角的影响 5. 校正后的系统 校正环节 $G_{c}(s)= \dfrac{1+bTs}{1+Ts}$