Steady-state Error Calculation for Linear Systems
只有当系统稳定时，研究稳态误差才有意义
- 暂态分量： 系统稳定是基本的要求
- 稳态分量： 即系统的稳态误差
使用拉普拉斯变换的终值性质计算：
e_{ss}(\infty)=\lim\limits_{ s \to 0 }sE(s) \end{align}$$ ### 一、求稳态误差的基本步骤 1. **得到误差传递函数** $$\Phi_{e}(s)= \dfrac{E(s)}{R(s)}= \dfrac{1}{1+G(s)}$$ 2. **判断是否稳定**：利用**误差传递函数的特征方程**，判断系统是否[[线性系统稳定性分析\|稳定]] 3. **利用终值定理求出稳态误差** $$\begin{align} E(s)= \Phi_{e}(s)R(s) \; {\color{red}\Rightarrow} \; e_{ss}(\infty)=\lim\limits_{ s \to 0 }sE(s) \end{align}$$ >[!important] 注意！ > > 一定要注意终值条件的使用前提！**正弦信号**的输入**不能使用终值条件**计算稳态误差 > **正弦信号**的输入下的误差计算：求误差传递函数，利用[[频率特性\|频率特性]]，代入输入信号的角频率，得到输出的误差信号。 ### 二、影响系统稳定误差的因素 1. **系统输入** $R(s)$ 2. **开环增益** $K$ 3. **型次/系统类型：** $v$ 开环传递函数极点为 0 的个数/纯积分环节的个数，可以直接判断传递函数对[[经典输入信号\|经典输入信号]]的跟踪能力 $$\begin{align} & v=0\quad & 0型系统 \\ & v=1\quad & I型系统\\ & v=2\quad & II型系统 \end{align}$$ 开环传递函数： $$\begin{align} G(s)H(s)= \dfrac{K \prod\limits_{i=1}^{m}(\tau_{i}s+1)}{s^{v} \prod\limits_{j=1}^{n-v}(T_{j}s+1)} \; \; {\color{red}\Rightarrow} \; \; \lim\limits_{ s \to 0 } G(s)H(s)= \dfrac{K}{s^{v}} \\ \end{align}$$ 稳态误差： $$\begin{align} e_{ss}(\infty) & =\lim\limits_{ s \to 0 } \dfrac{sR(s)}{1+G(s)H(s)} \\ \\ & = \dfrac{\lim\limits_{ s \to 0 }s^{v+1}R(s)}{K+ \lim\limits_{ s \to 0 } s^{v}} = \dfrac{\lim\limits_{ s \to 0 }s^{v+1}R(s)}{K} \end{align}$$ $$e_{s s}(\infty)=\begin{cases} \dfrac{R}{1+K_{p}} & 阶跃输入\\ \quad \dfrac{R}{K_{v}} &斜坡输入\\ \quad \dfrac{R}{K_{a}} & 加速度输入 \end{cases}$$ 求误差系数，也即在考虑输入的阶次时，对开环传递函数求极限 - **阶跃输入** $\dfrac{1}{s}$ $K_{p}=\lim\limits_{ s \to 0 }G(s)H(s)=\lim\limits_{ s \to 0 } \dfrac{K}{s^{v}}$ 静态**位置**误差系数 - **斜坡输入** $\dfrac{1}{s^{2}}$ $K_{v}=\lim\limits_{ s \to 0 }sG(s)H(s)=\lim\limits_{ s \to 0 } \dfrac{K}{s^{v-1}}$ 静态**速度**误差系数 - **加速度输入** $\dfrac{1}{s^{3}}$ $K_{a}=\lim\limits_{ s \to 0 }s^{2}G(s)H(s)=\lim\limits_{ s \to 0 } \dfrac{K}{s^{v-2}}$ 静态**加速度**误差系数 | | 单位阶跃 | 单位斜坡 | 单位加速度 | | ------ | ---------------- | -------------- | -------------- | | 0 型系统 | $\dfrac{1}{1+K}$ | $\infty$ | $\infty$ | | I 型系统 | 0 | $\dfrac{1}{K}$ | $\infty$ | | II 型系统 | 0 | 0 | $\dfrac{1}{K}$ | 注意 $K$ 是**误差传递函数**化为**尾 1 多项式**的开环增益 ### 三、减小输入作用下的稳态误差 增大系统**开环增益** 增加开环传递函数的**积分环节**（前向通路或主反馈通道）