三重积分

Triple Integral

立体的质量，基本思路：将三重积分化为三次积分

$$\underset{\Omega }{\iiint }f(x,y,z)dV=\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)\Delta V_i$$

• $f(x,y,z)$ 为被积函数
• $\mathrm{d}V$ 为体积元素
• $\Omega$ 为积分区域

一、直角坐标

1. 先一后二

先将 $f(x,y,z)$ 看作 $z$ 的函数，对 $z$ 积分得到 $F(x,y)$，然后计算在 $D_{xy}$ 上的二重积分，再将二重积分化为二次积分得到三重积分的计算公式：

\iiint\limits_{\Omega} f(x,y,z)\,\mathrm{d}v=\iint \limits_{D_{xy}}F(x,y)\mathrm{d}\sigma = \int _{a}^{b} \, dx \int _{y_{1}(x)}^{y_{2}(x)} \, dy \int _{z_{1}(x,y)}^{z_{2}(x,y)} f(x,y,z)\, dz \end{align}$$ #### 2. 先二后一 先计算一个 $D_{xy}$ 上的二重积分，再计算一个的定积分： $$\begin{align} \iiint\limits_{\Omega} f(x,y,z)\,\mathrm{d}v= \int _{c_{1}}^{c_{2}} \, dz \iint \limits_{D_{z}}f(x,y,z)dxdy \end{align}$$ ### 二、柱面坐标 [[圆柱坐标系\|圆柱坐标系]] $$\begin{align} \begin{cases} x=\rho \cos \theta \\ y=\rho \sin\theta \\ z=z \end{cases}\quad \Rightarrow \quad dxdydz \to \rho d\rho d\theta dz \end{align}$$ $$\begin{align} \iiint\limits_{\Omega} f(x,y,z)\,\mathrm{d}v= \iiint\limits_{\Omega} F(\rho,\theta,z)\rho \,\mathrm{d}\rho \,\mathrm{d}\theta \,\mathrm{d}z \end{align}$$ 积分次序：$\mathrm{d}z \to \mathrm{d}\rho \to \mathrm{d}\theta$ 先对 $z$ 积分，得到极坐标形式的二重积分，计算三重积分 ### 三、球面坐标 $$\begin{align} \begin{cases} x=r\sin\varphi \cos\theta \\ y=r\sin\varphi \sin\theta \\ z=r\cos\varphi \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z &\to r^{2}\sin\varphi \,\mathrm{d}r \,\mathrm{d}\varphi \, \mathrm{d}\theta \end{align}$$ $$\begin{align} \iiint\limits_{\Omega} f(x,y,z)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z= \iiint\limits_{\Omega} F(r,\varphi,\theta)\; r^{2}\sin\varphi \,\mathrm{d}r \,\mathrm{d}\varphi \, \mathrm{d}\theta \end{align}$$ $\mathrm{d}v=r^{2}\sin\varphi \,\mathrm{d}r \,\mathrm{d}\varphi \, \mathrm{d}\theta$， 积分次序：$\mathrm{d}r \to \mathrm{d}\varphi \to \mathrm{d}\theta$ 注意球面坐标是以球心为参考系的，从球心积分，如果球心不在坐标原点 $(a,b,c)$，注意换元为：

\begin{cases} x-a=r\sin\varphi \cos\theta \ y-b=r\sin\varphi \sin\theta \ z-c=r\cos\varphi \end{cases}