一、联合分布函数
Joint Distribution Function
F(x,y)=P\left\{X\leq x,Y\leq y \right\} \end{align}$$ 表示平面上随机点 $(X, Y)$ 落在以 $(x,y)$ 为**右上顶点的无穷矩形**中的概率  $$\begin{align} & P\left\{x_{1}<X\leq x_{2},y_{1}<Y\leq y_{2} \right\} \\ & =F(x_{2},y_{2})-F(x_{1},y_{2})-F(x_{2},y_{1})+F(x_{1},y_{1})\geq 0 \end{align}$$ #### 基本性质 - **单调性**：$F(x,y)$ 是变量 $x，y$ 的单调不减函数 - **有界性**：实际上根据此性质，可以列三个方程，计算三个未知参数 - $0\leq F(x,y)\leq 1$ - $F(+\infty,+\infty)=1$ - $F(-\infty,y)=F(x,-\infty)=F(-\infty,-\infty)=0$ - **连续性**：关于 $x, y$ 右连续 $$F(x,y)=F(x+0,y)\quad F(x,y)=F(x,y+0)$$ #### 多维随机变量的分布 $$\begin{align} F(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})=P\left\{X_{1}\leq x_{1},X_{2}\leq x_{2},\cdots,X_{n}\leq x_{n} \right\} \end{align}$$ ### 二、边缘分布函数 **Marginal Distribution Function** 边沿分布、边际分布 多维随机变量有联合分布函数，而多维随机变量的各个分量都为一维随机变量，**都有其自身的分布** **已知联合分布函数求边缘分布函数**： - $X$ 的分布为 $X$ 关于二维随机变量 $(X,Y)$ 的边缘分布 $$F_{X}(x)=P\left\{X\leq x,Y<+\infty \right\}=F(x,+\infty)$$ - $Y$ 的分布为 $Y$ 关于二维随机变量 $(X,Y)$ 的边缘分布 $$F_{Y}(y)=P\left\{X\leq +\infty,Y< y\right\}=F(+\infty,y)$$ ### 三、条件分布函数 **Conditional Distribution Function** [[条件概率\|条件概率]]： $P(A\mid B)=\dfrac{P(AB)}{P(B)}$ **条件分布**：二维随机变量 $(X,Y)$ 在已知某个分量的取值的情况下，另一个随机变量的分布 $$\begin{align} F_{X\mid Y}(x\mid y)=P\left\{X\leq x\mid Y=y \right\} \end{align}$$