基础知识
事件的独立性：事件 A、B 满足 ，则称事件 A、B 统计独立，简称独立
二维随机变量的二维分布函数如下
联合分布函数为：
F(x,y)=P\left\{X\leq x,Y\leq y \right\} \end{align}$$ **边缘分布函数**为： $$\begin{align} F_{X}(x) & =P\left\{X\leq x,Y<+\infty \right\}=F(x,+\infty) \\ F_{Y}(y) & =P\left\{X\leq +\infty,Y< y\right\}=F(+\infty,y) \end{align}$$ 如果对于任意的 $(x,y)$ 有： $$\begin{align} F(x,y)=F_{X}(x)\cdot F_{Y}(y) \end{align}$$ **联合分布函数等于边缘分布函数之积**，则称 $X,Y$ 为**互相独立**的随机变量 ### 离散型随机变量相互独立 $(X,Y)$ 为二维离散型随机变量， $X,Y$ 相互独立的**充分必要条件**： $$p_{ij}=p_{i\cdot}p_{\cdot j}$$ - 联合分布律： $p_{ij}=P\left\{X=x_{i},Y=y_{i} \right\}$ - $X$ 的边缘分布律：$p_{i\cdot}=P\left\{X=x_{i} \right\}$ - $Y$ 的边缘分布律：$p_{\cdot j}=P\left\{Y=y_{j} \right\}$ ### 连续型随机变量相互独立 $(X,Y)$ 为二维连续型随机变量，$X,Y$ 相互独立的**充分必要条件**： $$\begin{align} f(x,y)=f_{X}(x)f_{Y}(y) \end{align}$$ - 联合密度函数：$f(x,y)$ - $X$ 的边缘概率密度：$f_{X}(x)$ - $Y$ 的边缘概率密度：$f_{Y}(y)$ ### 独立性与零协方差 离散情形中，独立性可写成联合概率矩阵的逐项分解：p_{ij}=p_iP_j.
\sigma_{12} =\sum_i\sum_jp_iP_j(x_i-m_1)(y_j-m_2) =\left(\sum_ip_i(x_i-m_1)\right) \left(\sum_jP_j(y_j-m_2)\right)=0.
所以独立变量一定零协方差。连续情形中，若 $x,y$ 独立，则联合密度直接相乘 $p(x,y)=p_1(x)p_2(y)$，协方差矩阵为对角矩阵。对联合正态变量，零协方差还足以推出独立；但在一般分布中，零协方差只排除了线性相关。