二维离散分布律

多维离散型随机变量 的概率分布律

联合分布律

$p_{ij}=P\left\{X=x_i,Y=y_i\right\}$

性质：

• 非负性：

p_{ij}=P\left\{X=x_{i},Y=y_{j} \right\}\geq 0 \end{align}$$ - **归一性：** $$\begin{align} \sum\limits_{i,j}^{} p_{ij}=1 \end{align}$$ ### 边缘分布律 **联合分布律**: $$\begin{align} P_{ij}=P\left\{X=x_{i},Y=y_{i} \right\} \end{align}$$ **边缘分布律**: $$\begin{align} p_{i\cdot}&=P\left\{X=x_{i} \right\}=\sum\limits_{j} p_{ij} \\ p_{\cdot j}&=P\left\{Y=y_{j} \right\}=\sum\limits_{i} p_{ij} \end{align}$$ >[!tip] > >简单理解，求 $X$ 的分布律时，就把对应的 $Y$ 累加起来（与 $Y$ 无关） >求 $Y$ 的分布律同理 ### 条件分布律 [[条件概率\|条件概率]] - $Y=y_{j}$ 条件下，随机变量 $X$ 的条件分布律： $$\begin{align} P\left\{X=x_{i}\mid Y=y_{i} \right\}= \dfrac{P\left\{X=x_{i},Y=y_{i} \right\}}{P\left\{Y=y_{i} \right\}}= \dfrac{p_{ij}}{p_{\cdot j}} \end{align}$$ - $X=x_{i}$ 条件下，随机变量 $Y$ 的条件分布律： $$\begin{align} P\left\{Y=y_{i} \mid X=x_{i} \right\}= \dfrac{P\left\{X=x_{i},Y=y_{i} \right\}}{P\left\{X=x_{i} \right\}}= \dfrac{p_{ij}}{p_{i\cdot }} \end{align}$$