Chebyshev’s Inequality 切比雪夫不等式
Description
随机变量 有期望: 方差: , 则对于任何给定的 ，有
P\left\{|X-\mu | \geq \varepsilon \right\}\leq \dfrac{\sigma^{2}}{\varepsilon^{2}} \quad {\color{red}\Leftrightarrow} \quad P\left\{|X-\mu|< \varepsilon \right\} \geq 1- \dfrac{\sigma^{2}}{\varepsilon^{2}} \end{align}$$ - $\sigma^{2}$ 越小，事件 $\left\{|X-E(X)|<\varepsilon \right\}$ 的概率越大 也即：[[方差\|方差]]越小，随机变量集中在期望附近的可能性越大（方差刻画了随机变量取值的离散程度） - 当方差已知时，切比雪夫不等式给出了随机变量 $X$ 偏差期望值概率的上界 - 它适用于所有具有有限期望值和方差的随机变量。 - 它提供了一个概率上界，即它给出了一个概率的上限，实际概率可能更小。 - 它不依赖于随机变量的具体分布，只依赖于期望值和方差。 - 它是一种弱大数定律，因为它只给出了一个概率的上界，并没有给出概率的确切值。 在其他类型的分布特性（如正态分布）不适用或未知的情况下。它可以用来估计数据的离散程度，或者在没有足够数据来确定分布的情况下进行概率估计 ### 证明： $$\begin{align} P\left\{|X-\mu|\geq\varepsilon \right\}&=\int_{|X-\mu|\geq\varepsilon} f(x)\, dx \\ & \leq \int _{|X-\mu|\geq\varepsilon} \dfrac{(x-\mu)^{2}}{\varepsilon^{2}} f(x)\, dx \\ &\leq \dfrac{1}{\varepsilon^{2}}\int _{-\infty}^{+\infty} (x-\mu)^{2}f(x)\, dx \\ &=\dfrac{D(X)}{\varepsilon^{2}}=\dfrac{\sigma^{2}}{\varepsilon^{2}} \end{align}$$