Expectation 均值 mean
随机变量可能取值的平均值
一、基本定义
E(X)=\sum\limits_{i=1}^{\infty} x_{i}p_{i} \end{align}$$ - **连续型随机变量**：[[概率密度函数\|概率密度函数]] $f(x)$ 的积分（要求[[定积分\|积分]]**绝对收敛**） $$\begin{align} E(X)=\int _{-\infty}^{\infty} xf(x)\, dx \end{align}$$ 1. 期望是一个实数，是一种**加权平均** 2. 级数的绝对收敛或积分的绝对收敛，才能保证期望存在 ### 二、期望的性质 1. $C$ 为常数，$E(C)=C$ 2. $k$ 为常数，$E(kX)=kE(X)$ 3. 线性性质 $$\begin{align} E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y) \end{align}$$ 4. 若 $X,Y$ [[随机变量的独立性\|独立]] $$\begin{align} E(XY)=E(X)E(Y) \end{align}$$ 但是由期望的关系不能够推出两个变量相互独立 ### 三、随机变量函数的期望 > [[方差\|方差]]、[[协方差\|协方差]]、[[相关系数\|相关系数]]在本质上都是**函数的期望** #### 1. 一维随机变量 $X$ 为一随机变量，$Y=g(X)$ ##### 离散型随机变量 概率分布律 $P\left\{X=x_{i} \right\}=p_{i}\quad i=1,2,3,\cdots$ $$\begin{align} E(Y)=E[g(X)]=\sum\limits_{i=1}^{\infty}g(x_{i})p_{i} \end{align}$$ ##### 连续型随机变量 概率密度为 $f(x)$ $$\begin{align} E(Y)=E[g(X)]=\int _{-\infty}^{+\infty} g(x)f(x)\, dx \end{align}$$ #### 2. 二维随机变量 $(X,Y)$ 为二维随机向量，$Z=g(X,Y)$ ##### 离散型随机变量 概联合分布律 $P\left\{X=x_{i},Y=y_{j} \right\}=p_{ij}\quad i=1,2,3,\cdots$ $$\begin{align} E(Z)=E(g(X,Y))=\sum\limits_{j=1}^{\infty}\sum\limits_{i=1}^{\infty}g(x_{i},y_{j})p_{ij} \\ \end{align}$$ ##### 连续型随机变量 概率密度为 $f(x,y)$ $$\begin{align} E (Z)=\int _{-\infty}^{\infty} \int _{-\infty}^{\infty} g (x, y) f (x, y)\, dx \, dy \end{align}$$ >[!important] 注意！ > >因为期望是一个数，积分的结果也应该是一个具体的数 >所以最外层的积分限一定都为常数 >- 单变量的积分限就为题目所给定的积分限，较好理解 >- 而多变量的积分限要先根据题目变量的取值范围， > 转化为单变量的积分，再在积分区域内积分 > >而且也要注意求期望时，是对==函数值与密度函数的乘积==进行积分 > >例子： > $0\leq x\leq y\leq 1$， 求 $E(X)$，$E(Y)$, $E(XY)$ > $$\begin{align} > E(X)=\int _{0}^{1} xf_{X}(x) \, dx\quad E(Y)=\int _{0}^{1} yf_{Y}(y) \, dy > \end{align}$$ > $$\begin{align} > E(XY) & =\int _{0}^{1} \, dx \int _{x}^{1} xyf(x,y)\, dy \\ > & =\int _{0}^{1} \, dy \int _{0}^{y} xyf(x,y)\, dx > \end{align}$$ > --- ## AI 结构化补充（2026-05-02） **Expectation** $E(X)$ 均值 mean > [[随机变量\|随机变量]]可能取值的平均值 ### 一、基本定义 - **离散型随机变量**：[[概率分布律\|概率分布律]] $P\left\{X=x_{i} \right\}=p_{i}$ 的求和（要求[[级数\|级数]]**绝对收敛**） $$\begin{align} E(X)=\sum\limits_{i=1}^{\infty} x_{i}p_{i} \end{align}$$ - **连续型随机变量**：[[概率密度函数\|概率密度函数]] $f(x)$ 的积分（要求[[定积分\|积分]]**绝对收敛**） $$\begin{align} E(X)=\int _{-\infty}^{\infty} xf(x)\, dx \end{align}$$ 1. 期望是一个实数，是一种**加权平均** 2. 级数的绝对收敛或积分的绝对收敛，才能保证期望存在 ### 二、期望的性质 1. $C$ 为常数，$E(C)=C$ 2. $k$ 为常数，$E(kX)=kE(X)$ 3. 线性性质 $$\begin{align} E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y) \end{align}$$ 4. 若 $X,Y$ [[随机变量的独立性\|独立]] $$\begin{align} E(XY)=E(X)E(Y) \end{align}$$ 但是由期望的关系不能够推出两个变量相互独立 ### 三、随机变量函数的期望 > [[方差\|方差]]、[[协方差\|协方差]]、[[相关系数\|相关系数]]在本质上都是**函数的期望** #### 1. 一维随机变量 $X$ 为一随机变量，$Y=g(X)$ ##### 离散型随机变量 概率分布律 $P\left\{X=x_{i} \right\}=p_{i}\quad i=1,2,3,\cdots$ $$\begin{align} E(Y)=E[g(X)]=\sum\limits_{i=1}^{\infty}g(x_{i})p_{i} \end{align}$$ ##### 连续型随机变量 概率密度为 $f(x)$ $$\begin{align} E(Y)=E[g(X)]=\int _{-\infty}^{+\infty} g(x)f(x)\, dx \end{align}$$ #### 2. 二维随机变量 $(X,Y)$ 为二维随机向量，$Z=g(X,Y)$ ##### 离散型随机变量 概联合分布律 $P\left\{X=x_{i},Y=y_{j} \right\}=p_{ij}\quad i=1,2,3,\cdots$ $$\begin{align} E(Z)=E(g(X,Y))=\sum\limits_{j=1}^{\infty}\sum\limits_{i=1}^{\infty}g(x_{i},y_{j})p_{ij} \\ \end{align}$$ ##### 连续型随机变量 概率密度为 $f(x,y)$ $$\begin{align} E (Z)=\int _{-\infty}^{\infty} \int _{-\infty}^{\infty} g (x, y) f (x, y)\, dx \, dy \end{align}$$ >[!important] 注意！ > >因为期望是一个数，积分的结果也应该是一个具体的数 >所以最外层的积分限一定都为常数 >- 单变量的积分限就为题目所给定的积分限，较好理解 >- 而多变量的积分限要先根据题目变量的取值范围， > 转化为单变量的积分，再在积分区域内积分 > >而且也要注意求期望时，是对==函数值与密度函数的乘积==进行积分 > >例子： > $0\leq x\leq y\leq 1$， 求 $E(X)$，$E(Y)$, $E(XY)$ > $$\begin{align} > E(X)=\int _{0}^{1} xf_{X}(x) \, dx\quad E(Y)=\int _{0}^{1} yf_{Y}(y) \, dy > \end{align}$$ > $$\begin{align} > E(XY) & =\int _{0}^{1} \, dx \int _{x}^{1} xyf(x,y)\, dy \\ > & =\int _{0}^{1} \, dy \int _{0}^{y} xyf(x,y)\, dx > \end{align}$$ > ### 样本均值与概率期望 样本均值和期望都可以被叫作“平均”，但它们回答的是不同问题： - **样本均值**从已经观察到的 $N$ 个样本值出发，描述这一次数据实际给出的平均水平：\mu=\frac{x_1+\cdots+x_N}{N}.
m=E[x]=p_1x_1+\cdots+p_nx_n=\mathbf p\cdot\mathbf x.
如果 $x$ 是连续随机变量，离散求和换成密度函数上的积分：E[x]=\int_{-\infty}^{\infty}x p(x),dx.
例如五个已观察到的新生年龄为 $18,17,18,19,17$，样本均值是\mu=\frac{18+17+18+19+17}{5}=17.8.
如果按概率模型看，新生年龄为 $17,18,19$ 的概率分别是 $.2,.5,.3$，则随机抽一名新生的期望年龄是E[x]=(.2)17+(.5)18+(.3)19=18.1.
$17.8$ 和 $18.1$ 并不矛盾：前者是样本已经发生后的平均，后者是概率模型给出的长期中心。 ### 大数定律与独立试验边界 当样本来自同一个概率模型并满足相应独立或弱依赖条件时，样本均值会随着样本量 $N$ 增大而趋近于期望。以公平硬币为例，若正面记为 $1$、反面记为 $0$，则E[x]=\frac12\cdot 1+\frac12\cdot 0=\frac12.
$N$ 次投掷中正面的比例就是 $0$-$1$ 样本的样本均值。大数定律说明，当 $N$ 越来越大时，这个比例趋向 $\frac12$。在强大数律的表述里，这种长期趋近可以写成“以概率 $1$ 收敛”，也就是几乎必然收敛到期望。 这个结论不能被误读为“前面多次反面会提高下一次正面的概率”。在相互独立的公平硬币投掷中，下一次正面的概率仍是 $\frac12$。前面已经发生的结果会影响当前有限样本均值，却不会改变下一次独立试验的概率，也不会改变长期极限。 ### 与方差和标准差的关系 期望给出随机变量的中心位置，[[方差\|方差]]和[[标准差\|标准差]]描述取值围绕这个中心的离散程度。方差本身也是函数的期望：D(X)=E[(X-E(X))
如果 $X,Y$ 是随机变量，期望的线性性不要求二者独立：即使 $X,Y$ 不独立，仍有E[X+Y]=E[X]+E[Y].