双曲函数

Hyperbolic functions

复变意义

利用指数函数和三角函数定义： $ch=\cosh sh=\sinh th=\tanh$

\sinh x=\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{2} &,\quad \cosh x=\dfrac{e^{x}+e^{-x}}{2} \\ \tanh x=\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}} &,\quad \coth x=\dfrac{e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}} \\ sech \,x=\dfrac{2}{e^{x}+e^{-x}}&,\quad csch \,x=\dfrac{2}{e^{x}-e^{-x}} \end{align}$$ $$\begin{align} (\sinh x)'=\cosh x \\ (\cosh x)'=\sinh x \end{align}$$ $\cosh yi=\cos y\quad \sinh yi=i\sin y$ $\tanh yi=i\tan y$ 以 $2\pi i$ 为周期 ### 反双曲函数 $$\begin{align} Arcsinhz&=Ln(z+\sqrt{ z^{2}+1 }) \\ Arcoshz&=Ln(z+\sqrt{ z^{2}-1 }) \\ Artanhz&=\dfrac{1}{2 }Ln \dfrac{1+z}{1-z}\\ \end{align}$$