三角函数

Trigonometric Functions 起源于对三角形的研究，三角函数正交系可作为函数空间的正交基

$\frac{\pi }{2}$

实数意义

函数	英文	符号	基本关系
正弦函数	Sine	sin
余弦函数	Cosine	cos
正切函数	Tangent	tan	$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$
余切函数	Cotangent	cot	$\cot x=\frac{1}{\tan x}$
正割函数	Secant	sec	$\sec =\frac{1}{\cos x}$
余割函数	Cosecant	csc	$\csc =\frac{1}{\sin x}$

& \sin ^{2}\alpha+\cos ^{2}\alpha=1 \\ & 1+\tan ^{2}\alpha=\sec ^{2}\alpha\\ & 1+\cot ^{2}\alpha=\csc ^{2}\alpha \end{align}$$ [[三角公式\|三角公式]] ### 复数意义 #### 定义 利用[[欧拉公式\|欧拉公式]]，正余弦可用[[指数函数\|指数函数]]来表示 $$\begin{align} e^{ iz }&=\cos z+i\sin z \\ \cos z&=\dfrac{1}{2}(e^{ iz }+e^{ -iz }) \\ \sin z&= \dfrac{1}{2i}(e^{ iz }-e^{ -iz }) \end{align}$$ >千万注意不要漏掉指数函数上的虚数单位 $i$ ! 当 $z$ 为纯虚数 $yi$ 时，可导出[[双曲函数\|双曲函数]] $$\begin{align} \sin iz&=i\sinh z \\ \cos iz&=\cosh z \\ \tan iz&=i\tanh z \\ \cot iz&=-i\coth z \end{align}$$ ### 性质 **解析性**：正余弦函数是复平面内的解析函数 **有界性不再成立**，是与实变意义的最大区别 $z\to \infty\quad |\sin zi|\to \infty\quad |\cos zi|\to \infty$ **基本**：$\sin z$ 奇函数，$\cos z$ 偶函数，均以 $2\pi$ 为周期 $$\begin{align} & (\cos z)'=-\sin z \quad (\sin z)'=\cos z \quad \sin ^{2}z+\cos ^{2}z=1 \end{align}$$ ### 反三角函数 三角函数的[[反函数\|反函数]] $$\begin{align} Arccos\,z&=-iLn(z+\sqrt{ z^{2}-1 }) \\ Arcsin\,z&=-iLn(iz+\sqrt{ 1-z^{2} }) \\ Arctan\,z&=- \dfrac{i}{2} Ln \dfrac{1+z}{1-z} \end{align}$$