可降阶的高阶微分方程

将特殊的高阶微分方程降阶为一阶微分方程

一、情形 1

y^{(n)}=f(x) \end{align}$$ 只需要接连积分 $n$ 次，得到含有 $n$ 个任意常数的通解 ### 二、情形 2 $$\begin{align} y''=f(x,y') \end{align}$$ 1. 设 $y'=p$，则有 $y''=\dfrac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} x}=p'$ 2. $p'=f(x,p)$，为一阶微分方程，求得通解 $p=\varphi(x,C_{1})$ 3. 进一步得到一阶微分方程 $\dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\varphi(x,C_{1})$，直接进行积分，得到通解 ### 三、情形 3 $$\begin{align} y''=f(y,y') \end{align}$$ 没有显式出现自变量，令 $y'=p$，则进一步有： $$\begin{align} y''=\dfrac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} x} =\dfrac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} y} \dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} z} =p\dfrac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} y} \end{align}$$ 则得到可分离变量的一阶微分方程： $$p\dfrac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} y}=f(y,p)$$ 分离并积分得到通解