向量值函数

向量值函数：数集 $D\subset \mathbf{R}$，则称映射 $\mathbf{f}:D\to {\mathbf{R}}^n$ 为一元向量值函数，记为 $\mathbf{r}=\mathbf{f}(t),t\in D$，将数集中的每一个元素映射为一个向量：

\mathbf{f}(t)=({f}_{1}(t) , {f}_{2}(t) , \cdots , {f}_{n}(t))\quad t \in D \end{align}$$ $$\begin{align} \mathbf{f}(t)&={f}_{1}(t)\mathbf{i} + {f}_{2}(t)\mathbf{j} + {f}_{3}(t) \mathbf{k}=(\; f_{1}(t),f_{2}(t),f_{3}(t)\;) \quad t \in D \\ \end{align}$$ **向量值函数的极限**：向量值函数 $\mathbf{f}(t)$ 在 $t_{0}$ 的某一去心邻域内有定义，如果存在一个常向量 $\mathbf{r}_{0}$，对于任意给定的正数 $\varepsilon$，总存在正数 $\delta$，使得当 $t$ 满足 $0<\left\lvert t-t_{0} \right\rvert< \delta$ 时, 对应的函数值 $\mathbf{f}(t)$ 都满足：$\left\lvert \mathbf{f}(t)-\mathbf{r}_{0} \right\rvert<\varepsilon$ ，则称常向量 $\mathbf{r}_{0}$ 为向量值函数 $\mathbf{f}(t)$ 当 $t \to t_{0}$ 时的极限： $$\begin{align} \lim\limits_{ t \to t_{0} } \mathbf{f}(t)=\mathbf{r}_{0}\quad \text{或}\quad \mathbf{f}(t)\to \mathbf{r}_{0},t \to t_{0} \end{align}$$ 极限存在的充分必要条件时所有分量函数的极限都存在 **向量值函数的导向量**： $\mathbf{r}=\mathbf{f}(t)$ $$\begin{align} \mathbf{f}'(t_{0})=\lim\limits_{ \Delta t \to 0 } \dfrac{\Delta \mathbf{r}}{\Delta t} =\lim\limits_{ \Delta t \to 0 } \dfrac{\mathbf{f}(t_{0}+\Delta t)-\mathbf{f}(t_{0})}{\Delta t}\\ \end{align}$$ 导向量 $\mathbf{f}(t_{0})$ 是向量值函数 $\mathbf{r}=\mathbf{f}(t)$ 所对应的终端曲线 $\Gamma$ 在点处的一个**切向量**，指向与 $t$ 的增长方向一致