一、复变函数定义
为复平面上的一点集，如果对 中任意一点 ，有确定的（一个或多个）复数 同它对应 ，则称在 上定义了一个复变函数，也可看做一个映射
一个复变函数相当于一对二元实变函数 ， 和 为实值函数
二、复变函数中的映射
- 原象： 平面上的点表示自变量的值；点集 ：定义集合
- 象（映象）： 平面上的点表示函数的值；点集 ：函数值集合
为映射
例子：对于映射 , 求圆周 的象 令
& \omega =z+\dfrac{1}{z} \Leftrightarrow u+iv=x+iy+ \dfrac{x-iy}{x^{2}+y^{2}} \\ & u=x+ \dfrac{x}{x^{2}+y^{2}}\quad v=y- \dfrac{y}{x^{2}+y^{2}} \\ & 原象\begin{cases} x=2\cos\theta \\ y=2\sin\theta \end{cases}\quad 0\leq\theta\leq 2\pi \\ & 象\quad \begin{cases} u=\dfrac{5}{2}\cos\theta \\ v=\dfrac{3}{2}\sin\theta \end{cases}\quad 0\leq\theta\leq 2\pi \end{align}$$ ### 三、极限 函数 $\omega=f(z)$ ，在 $z_{0}$ 的去心邻域 $0<|z-z_{0}|<\rho$ 内有定义 若有确定的复数 $A$ 存在，对于任意给定的 $\varepsilon>0$, 总存在一个正数 $\delta$ 对满足 $0<|z-z_{0}|<\delta\;(0<\delta\leq \rho)$ 的一切 $z$，都有 $|f(z)-A|<\varepsilon$ 则 $A$ 为 $z$ 趋于 $z_{0}$ 的极限，记作 $\lim\limits_{ z \to z_{0} }f(z)=A$ $$\begin{align} \lim\limits_{ z \to z_{0} } f(z)&=A \\ \lim\limits_{ z \to z_{0} } g(z)&=B \\ \lim\limits_{ x \to x_{0} } [f(z)\pm g(z)]&=A\pm B \\ \lim\limits_{ z \to z_{0} } f(z)g(z)&=AB \\ \lim\limits_{ z \to z_{0} } \frac{f(z)}{g(z)}&=\frac{A}{B}\quad (B \neq 0) \end{align}$$ $f (z)=u (x, y)+iv (x, y)$ $A=u_{0}+iv_{0}$ $z_{0}=x_{0}+iy_{0}$ $\lim\limits_{ z \to z_{0} } f (z)=A$ 的**充分必要条件**为： $$\begin{align} \lim\limits_{\substack{x \to x_{0} \\y\to y_{0}}} u(x,y)&=u_{0} \\ \lim\limits_{\substack{x \to x_{0} \\y\to y_{0}}} v(x,y)&=v_{0} \\ \end{align}$$ ### 四、导数 $$\lim\limits_{ \Delta z \to 0}\dfrac{\Delta \omega}{\Delta z}=\lim\limits_{ \Delta z \to 0}\dfrac{f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z}$$ [[复变函数的导数\|复变函数的导数]] 定义中： $z_{0}+\Delta z\to z_{0}$ **以任意方式趋于** $z_{0}$ $\Delta z=\Delta x+i\Delta y$ 如果函数 $f(z)$ 在区域 $D$ 内处处可导，就称 $f(z)$ 在区域 $D$ 内可导 例子：$f(z)=x+2yi$ 由于要求任意方式趋于极限，假设取 $y=kx\quad \Delta y=k\Delta x$ $$\begin{align} \lim\limits_{ \Delta z \to 0 } \dfrac{\Delta f}{\Delta z}&=\lim\limits_{ \Delta z \to 0 } \dfrac{\Delta x+2\Delta yi}{\Delta x+\Delta yi}= \dfrac{1+2ki}{1+ki} \end{align}$$ 极限不存在，函数不可导（实际上之后可以直接利用[[解析\|解析]]的充要条件快速判断） ### 五、连续 函数 $f(z)$ 在 $z_{0}$ 处可导 $\Rightarrow$ 则在 $z_{0}$ 处一定连续 - 如果 $\lim\limits_{ z \to z_{0} }f(z)=f(z_{0})$ 成立，则 $f(z)$ 在 $z_{0}$ 处连续 - 如果 $f(z)$ 在 $D$ 的每一点连续，则称 $f(z)$ 在 $D$ 内连续 $f (z)=u (x, y)+iv (x, y)$ 在 $z_{0}=x_{0}+iy_{0}$ 处连续的**充分必要条件**，$u(x,y)$ 和 $v(x,y)$ 在 $(x_{0},y_{0})$ 处连续 ### 六、微分 与实变函数的[[微分\|微分]]概念完全一致 $$\begin{align} \Delta \omega &=f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0}) \\ &=f'(z_{0})\cdot \Delta z+\rho(\Delta z)\Delta z \\ d\omega &=f'(z_{0})\cdot \Delta z \end{align}$$ 在 $z_{0}$ 处可导与在 $z_{0}$ 处可微**等价** 如果函数 $f(z)$ 在区域 $D$ 内处处可微，就称 $f(z)$ 在区域 $D$ 内可微 ### 解析 [[解析\|解析]]