Complex number
起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中出现负数开平方的情况
虚数
虚数单位 定义： 的幂次在 中循环
i^{4n}=1\quad i^{4n+1}=i \quad i^{4n+2}=-1\quad i^{4n+3}=-i \end{align}$$ ### 复数 对于两实数 $x\quad y$ $z=x+iy$ $i$ 为虚数单位 - **实部 real part** ：$\mathrm{Re}$ $z=x$ - **虚部 imaginary part**：$\mathrm{Im}$ $z=y$ **复数相等**的充要条件： 实部和虚部分别相等 >[!important] 注意 > >这一充要条件似乎“天经地义”，“理所当然” >但实际上有很多用处 比如可以化简诸如 $\sqrt{ 5+12i },\sqrt{ -i }$ 等根式 直接令 $\sqrt{ 5+12i }=x+iy$ 再利用复数相等，实部与虚部的相等，即可求得 $5+12i=x^{2}-y^{2}+2xyi$ (复数中无法定义大小关系) ### 四则运算 $$\begin{align} & z_{1}=x_{1}+iy_{1} \quad z_{2}=x_{2}+iy_{2}\\ \\ & z_{1}\pm z_{2}=(x_{1}\pm x_{2})+i(y_{1}\pm y_{2}) \\ & z_{1}\cdot z_{2}=(x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2})+i(x_{2}y_{1}+x_{1}y_{2}) \\ & \dfrac{z_{1}}{z_{2}}=\dfrac{z_{1}\bar{z_{2}}}{z_{2}\bar{z_{2}}} \end{align}$$ ### 共轭复数 **Conjugate** **实部相同**而**虚部**绝对值相等**符号相反**的两个复数 $z=x+iy$ $\overline{z}=x-iy$ $$\begin{align} z\cdot \overline{z}&=(x+iy)(x-iy) \\ &=x^{2}-(iy)^{2} \\ &=x^{2}+y^{2} \\ &=[Re(z)]^{2}+[Im(z)]^{2} \end{align}$$ 两个共轭复数的积为一个实数 常常使用此来对分式进行化简 （==上下同乘==分母的共轭复数） $z+\overline{z}=2Re(z)$ $z-\overline{z}=2iIm(z)$ $\overline{\overline{z}}=z$ ### 复数的几何表示 ```mermaid graph LR 几何表示---> 复平面 & 复球面 ``` 复数与[[复平面\|复平面]]中的[[向量\|向量]]对应起来 复数可以表示平面向量，所以有关平面向量的问题可以用复变函数来研究 ### 三角表示和指数表示 $z$ 对应向量 $\vec{Oz}$ **模**： $\mid z\mid$ 为对应向量的长度 $\mid z\mid$ = $\sqrt{ x^2+y^2 }$ **辐角**： $\vec{Oz}$ 与实轴正向的夹角 $Arg$ 一般表示，不受限制地取辐角的任意值 $Arg z=\theta$ $z=0$ 模为 0，而辐角不确定 **主辐角**: 辐角的主值 辐角限制在 $-\pi$ 与 $\pi$ 之间 $$argz=\begin{cases} \arctan \dfrac{y}{x}\quad x>0 \\ \quad \dfrac{\pi}{2}\quad \quad \quad x=0,y>0 \\ \arctan \dfrac{y}{x}+\pi\quad x<0,y\geq 0 \\ \arctan \dfrac{y}{x}-\pi\quad x<0,y<0 \\ \quad - \dfrac{\pi}{2}\quad \quad x=0,y<0 \end{cases}$$ $arg z \in(-\pi,\pi]$ $Arg\,z =arg\,z+2k \pi$ **三角表示**：$z=r(\cos \theta+i\sin\theta)$ **指数表示**： $z=re^{i\theta}$ （由[[欧拉公式\|欧拉公式]]） >[!important] 注意 > >- 表示成[[三角函数\|三角函数]]或者[[指数函数\|指数函数]]时，不要遗漏虚数单位 $i$ >- 最好画一个简易的图，不要搞错实部、虚部、符号、模的大小...... 等小细节 >- 也要注意三角表示和指数表示的形式 > 如果形式不为标准形式，应该先利用三角函数来转化为标准形式 ### 复数的运算 #### 1.乘除法 $$\begin{align} & z_{1} =r_{1}(\cos \theta_{1}+i\sin \theta_{1})=r_{1}e^{ i\theta_{1} } \\ & z_{2} =r_{2}(\cos \theta_{2}+i\sin \theta_{2})=r_{2}e^{ i\theta_{2} } \\ \\ & |z_{1}\cdot z_{2}| =r_{1}r_{2} \\ & Arg(z_{1}\cdot z_{2})=Arg z_{1}+Argz_{2} \\ & z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}e^{ i(\theta_{1}+\theta_{2}) }\\ \\ & \left\lvert \dfrac{z_{1}}{z_{2}} \right\rvert=\frac{r_{1}}{r_{2}} \\ & Arg \frac{z_{1}}{z_{2}}=Arg z_{1}-Argz_{2} \\ & \dfrac{z_{2}}{z_{1}}=\dfrac{r_{2}}{r_{1}}e^{ i(\theta_{2}-\theta_{1}) } \end{align}$$ **几何意义** **乘法**： - 模等于两个复数模的乘积 - 辐角等于两个复数辐角的和 模长伸长，逆时针旋转角度 **除法**： - 模等于两个复数模的商 - 辐角等于被除数与除数的辐角之差 模长缩短，顺时针旋转角度 #### 2.乘方开方 De Moivre 公式 $$\begin{align} z^{n}&=[r(\cos \theta+i\sin \theta)]^{n} \\ &=r^{n}(\cos n \theta+i\sin n \theta) \\ &=r^{n}e^{ i(n\theta) }\\ \end{align}$$ $$\begin{align} \sqrt[n]{ z }&=[r(\cos \theta+i\sin \theta)]^{1/n} \\ &=r^{1/n}\left[ \cos \left( \frac{1}{n} (\theta+2k\pi) \right) +i\sin \left( \frac{1}{n} (\theta+2k\pi) \right) \right] \\ &=r^{1/n}e^{i(\frac{1}{n}(\theta+2k\pi))}\\ \end{align}$$ $(k=0,1,2\cdots,n-1)$ 注意开 $n$ 次根号有 $n$ 个值 例题： 解方程 $(1+z)^{5}=(1-z)^{5}$ $(\dfrac{1+z}{1-z})^{5}=1\quad \omega=\dfrac{1+z}{1-z}$ $\omega=\sqrt[5]{1 }\quad \omega=e^{ i(0+2k\pi)/5 }=e^{ i\alpha }$ $$\begin{align} z&=\dfrac{\omega-1}{\omega+1}=\dfrac{e^{ i\alpha }-1}{e^{ i\alpha }+1} \\ &=\dfrac{\cos \alpha+i\sin \alpha-1}{\cos \alpha+i\sin \alpha+1} \\ &=\dfrac{2\sin \dfrac{\alpha}{2}(-\sin \dfrac{\alpha}{2}+i\cos \dfrac{\alpha}{2})}{2\cos \dfrac{\alpha}{2}(\cos \dfrac{\alpha}{2}+i\sin \dfrac{\alpha}{2})} \\ &=i\tan \dfrac{\alpha}{2} \end{align}$$ 所以根为： $z_{0}=0$ $z_{1}=i\tan \dfrac{\pi}{5}$ $z_{2}=i\tan \dfrac{2\pi}{5}$ $z_{3}=i\tan \dfrac{3\pi}{5}$ $z_{4}=i\tan \dfrac{4\pi}{5}$ --- ## AI 结构化补充（2026-05-02） **Complex number** >起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中出现负数开平方的情况 复数的基本规则可以压缩为两个核心事实：代数上使用 $i^2=-1$，几何和周期性上使用 $e^{2\pi i}=1$。 ### 虚数 **虚数单位** $i$ 定义：$i^2=-1$ $i$ 的幂次在 $\; i \: -1\: -i\;\;\;1$ 中循环 $$\begin{align} i^{4n}=1\quad i^{4n+1}=i \quad i^{4n+2}=-1\quad i^{4n+3}=-i \end{align}$$ ### 复数 对于两实数 $x\quad y$ $z=x+iy$ $i$ 为虚数单位 - **实部 real part** ：$\mathrm{Re}$ $z=x$ - **虚部 imaginary part**：$\mathrm{Im}$ $z=y$ **复数相等**的充要条件： 实部和虚部分别相等 >[!important] 注意 > >这一充要条件似乎“天经地义”，“理所当然” >但实际上有很多用处 比如可以化简诸如 $\sqrt{ 5+12i },\sqrt{ -i }$ 等根式 直接令 $\sqrt{ 5+12i }=x+iy$ 再利用复数相等，实部与虚部的相等，即可求得 $5+12i=x^{2}-y^{2}+2xyi$ (复数中无法定义大小关系) 在通常记号中也写作 $z=a+bi$，其中 $a=\operatorname{Re}z$，$b=\operatorname{Im}z$。当 $b=0$ 时，实数就是复数的特例。 ### 四则运算 $$\begin{align} & z_{1}=x_{1}+iy_{1} \quad z_{2}=x_{2}+iy_{2}\\ \\ & z_{1}\pm z_{2}=(x_{1}\pm x_{2})+i(y_{1}\pm y_{2}) \\ & z_{1}\cdot z_{2}=(x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2})+i(x_{2}y_{1}+x_{1}y_{2}) \\ & \dfrac{z_{1}}{z_{2}}=\dfrac{z_{1}\bar{z_{2}}}{z_{2}\bar{z_{2}}} \end{align}$$ 加法把实部和虚部分别相加，乘法则先按多项式展开，再把 $i^2$ 换成 $-1$：(3+2i)(1-i)=3-3i+2i-2i
(1+i)^2=1+2i+i^2=2i,\qquad (2i)
$1+i$ 的辐角是 $\pi/4$，平方后辐角变为 $\pi/2$；再平方后辐角变为 $\pi$，对应负实轴方向。这说明复数乘法会在平面中产生角度相加，平方就是角度翻倍。 ### 共轭复数 **Conjugate** **实部相同**而**虚部符号相反**的两个复数互为共轭 $z=x+iy$ $\overline{z}=x-iy$ $$\begin{align} z\cdot \overline{z}&=(x+iy)(x-iy) \\ &=x^{2}-(iy)^{2} \\ &=x^{2}+y^{2} \\ &=[Re(z)]^{2}+[Im(z)]^{2} \end{align}$$ 两个共轭复数的积为一个实数 常常使用此来对分式进行化简 （==上下同乘==分母的共轭复数） $z+\overline{z}=2Re(z)$ $z-\overline{z}=2iIm(z)$ $\overline{\overline{z}}=z$ 对 $z=a+bi$，共轭是 $\bar z=a-bi$。共轭与加法、乘法相容：\overline{z_1+z_2}=\bar z_1+\bar z_2,\qquad \overline{z_1z_2}=\bar z_1\bar z_2.
z\bar z=(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2=|z|
\frac{1}{a+ib}=\frac{a-ib}{a^2+b
这个公式要求 $z\neq0$，也就是 $a^2+b^2\neq0$；分母为零只会发生在 $a=b=0$。 因此当 $|z|=1$，也就是 $z$ 在单位圆上时，$z\bar z=1$，所以\frac{1}{z}=\bar z.
这个性质在实矩阵的复特征值中很重要。若 $A$ 是实矩阵且Ax=\lambda x,
A\bar x=\bar\lambda,\bar x.
因此实矩阵的非实复特征值总是以共轭对 $\lambda,\bar\lambda$ 出现，对应特征向量也成共轭对。 ### 复数的几何表示 ```mermaid graph LR 几何表示---> 复平面 & 复球面 ``` 复数与[[复平面\|复平面]]中的[[向量\|向量]]对应起来 复数可以表示平面向量，所以有关平面向量的问题可以用复变函数来研究 具体地说，复数z=a+bi
对应复平面中的点或向量 $(a,b)$。加法(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
就是平面向量 $(a,b)+(c,d)$ 的加法；但乘法(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i
\begin{bmatrix} a & -b\ b & a \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c\ d \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} ac-bd\ bc+ad \end{bmatrix},
即先缩放再旋转的平面线性变换。 ### 三角表示和指数表示 $z$ 对应向量 $\vec{Oz}$ **模**： $\mid z\mid$ 为对应向量的长度 $\mid z\mid$ = $\sqrt{ x^2+y^2 }$ **辐角**： $\vec{Oz}$ 与实轴正向的夹角 $Arg$ 一般表示，不受限制地取辐角的任意值 $Arg z=\theta$ $z=0$ 模为 0，而辐角不确定 **主辐角**: 辐角的主值 辐角限制在 $-\pi$ 与 $\pi$ 之间 $$argz=\begin{cases} \arctan \dfrac{y}{x}\quad x>0 \\ \quad \dfrac{\pi}{2}\quad \quad \quad x=0,y>0 \\ \arctan \dfrac{y}{x}+\pi\quad x<0,y\geq 0 \\ \arctan \dfrac{y}{x}-\pi\quad x<0,y<0 \\ \quad - \dfrac{\pi}{2}\quad \quad x=0,y<0 \end{cases}$$ $arg z \in(-\pi,\pi]$ $Arg\,z =arg\,z+2k \pi$ **三角表示**：$z=r(\cos \theta+i\sin\theta)$ **指数表示**： $z=re^{i\theta}$ （由[[欧拉公式\|欧拉公式]]） 由 Euler 公式e
z=a+bi=r(\cos\theta+i\sin\theta)=re
特别地，$\theta=2\pi$ 时有 $e^{2\pi i}=1$。例如1+i=\sqrt2\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt2 e
(1+i)^8=(\sqrt2)^8e^{i8\pi/4}=16e^{2\pi i}=16.
模长变成 $16$，辐角转到 $2\pi$，所以结果回到正实轴上的实数 $16$。 若 $z=re^{i\theta}$，则\bar z=re
同一个点的辐角可以相差 $2\pi$ 的整数倍，所以共轭的角也可写为 $-\theta$ 或 $2\pi-\theta$。 >[!important] 注意 > >- 表示成[[三角函数\|三角函数]]或者[[指数函数\|指数函数]]时，不要遗漏虚数单位 $i$ >- 最好画一个简易的图，不要搞错实部、虚部、符号、模的大小...... 等小细节 >- 也要注意三角表示和指数表示的形式 > 如果形式不为标准形式，应该先利用三角函数来转化为标准形式 ### 复数的运算 #### 1.乘除法 $$\begin{align} & z_{1} =r_{1}(\cos \theta_{1}+i\sin \theta_{1})=r_{1}e^{ i\theta_{1} } \\ & z_{2} =r_{2}(\cos \theta_{2}+i\sin \theta_{2})=r_{2}e^{ i\theta_{2} } \\ \\ & |z_{1}\cdot z_{2}| =r_{1}r_{2} \\ & Arg(z_{1}\cdot z_{2})=Arg z_{1}+Argz_{2} \\ & z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}e^{ i(\theta_{1}+\theta_{2}) }\\ \\ & \left\lvert \dfrac{z_{1}}{z_{2}} \right\rvert=\frac{r_{1}}{r_{2}} \\ & Arg \frac{z_{1}}{z_{2}}=Arg z_{1}-Argz_{2} \\ & \dfrac{z_{2}}{z_{1}}=\dfrac{r_{2}}{r_{1}}e^{ i(\theta_{2}-\theta_{1}) } \end{align}$$ **几何意义** **乘法**： - 模等于两个复数模的乘积 - 辐角等于两个复数辐角的和 模长伸长，逆时针旋转角度。也就是说，复数乘法就是模相乘、角相加。 **除法**： - 模等于两个复数模的商 - 辐角等于被除数与除数的辐角之差 模长缩短，顺时针旋转角度 #### 2.乘方开方 De Moivre 公式说明，复数的乘方会把模提升为幂，把角度乘以幂次： $$\begin{align} z^{n}&=[r(\cos \theta+i\sin \theta)]^{n} \\ &=r^{n}(\cos n \theta+i\sin n \theta) \\ &=r^{n}e^{ i(n\theta) }\\ \end{align}$$ 等价地，若 $z=re^{i\theta}$，则(re^{i\theta})^n=r^ne
$$\begin{align} \sqrt[n]{ z }&=[r(\cos \theta+i\sin \theta)]^{1/n} \\ &=r^{1/n}\left[ \cos \left( \frac{1}{n} (\theta+2k\pi) \right) +i\sin \left( \frac{1}{n} (\theta+2k\pi) \right) \right] \\ &=r^{1/n}e^{i(\frac{1}{n}(\theta+2k\pi))}\\ \end{align}$$ $(k=0,1,2\cdots,n-1)$ 注意开 $n$ 次根号有 $n$ 个值 例题： 解方程 $(1+z)^{5}=(1-z)^{5}$ $(\dfrac{1+z}{1-z})^{5}=1\quad \omega=\dfrac{1+z}{1-z}$ $\omega=\sqrt[5]{1 }\quad \omega=e^{ i(0+2k\pi)/5 }=e^{ i\alpha }$ $$\begin{align} z&=\dfrac{\omega-1}{\omega+1}=\dfrac{e^{ i\alpha }-1}{e^{ i\alpha }+1} \\ &=\dfrac{\cos \alpha+i\sin \alpha-1}{\cos \alpha+i\sin \alpha+1} \\ &=\dfrac{2\sin \dfrac{\alpha}{2}(-\sin \dfrac{\alpha}{2}+i\cos \dfrac{\alpha}{2})}{2\cos \dfrac{\alpha}{2}(\cos \dfrac{\alpha}{2}+i\sin \dfrac{\alpha}{2})} \\ &=i\tan \dfrac{\alpha}{2} \end{align}$$ 所以根为： $z_{0}=0$ $z_{1}=i\tan \dfrac{\pi}{5}$ $z_{2}=i\tan \dfrac{2\pi}{5}$ $z_{3}=i\tan \dfrac{3\pi}{5}$ $z_{4}=i\tan \dfrac{4\pi}{5}$ ### 关键结论速查 - 代数核心：$i^2=-1$；周期核心：$e^{2\pi i}=1$。 - 坐标解释：$a+bi\leftrightarrow(a,b)$，加法像向量加法，乘法是复数特有的旋转缩放结构。 - 共轭：$\bar z=a-bi$，并且 $\overline{z_1+z_2}=\bar z_1+\bar z_2$，$\overline{z_1z_2}=\bar z_1\bar z_2$。 - 模和倒数：$z\bar z=|z|^2=a^2+b^2$，$\dfrac{1}{a+ib}=\dfrac{a-ib}{a^2+b^2}$；若 $|z|=1$，则 $1/z=\bar z$。 - 极形式：$z=re^{i\theta}$，乘法是模相乘、角相加，De Moivre 公式为 $(re^{i\theta})^n=r^ne^{in\theta}$。