Complex Integral
为平面上的有向曲线
沿曲线正方向 & \int _{C}f(z)\, dz \\ 沿曲线负方向 & \int _{C^{-}}f(z)\, dz\\ 闭曲线正方向 (逆时针)& \oint_{C}f(z)\, dz \end{align}$$ **定理**：$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 在光滑曲线 $C$ 上连续，则复积分存在
\int _{C} f(z), dz=\int _{C}u(x,y), dx -v(x,y)dy+i \int _{C}v(x,y) , dx +u(x,y), dy
$$\begin{align} \int _{C}f(z)\, dz=\int _{C}udx-vdy+i\int _{C}vdx+udy \end{align}$$ 形式上：\int _{C}^{} f(z), dz=\int _{C}^{} (u+iv), (dx+idy)
复积分可以通过两个二元实变函数的[[曲线积分\|对弧长的曲线积分]] 来计算，曲线 $C$ 的参数方程为: $z(t)=x(t)+iy(t)$，则积分可以表示为： $$\begin{align} \int _{C}f(z)\, dz =\int _{a}^{b} f(z(t))z'(t)\, dt \end{align}$$ #### 例子 1.计算，$C$: 从原点到点 $3+4i$ 的直线段 $$\int_{C}zdz$$ 曲线的参数方程： $$\begin{cases} x=3t \\ y=4t \end{cases}\quad 0\leq t\leq 1\int _{C}z\, dz=\int _{0}^{1} (3+4i)^{2}t\, dt = \dfrac{(3+4i)^{2}}{2} \end{align}$$ 2. 计算 $z=re^{ i\theta }$ $$\begin{align} \oint_{\left\lvert z \right\rvert=3} \dfrac{\overline{z}}{\left\lvert z \right\rvert} dz \end{align}$$ $$\begin{align} \oint_{C} \dfrac{\overline{z}}{\left\lvert z \right\rvert} dz &=\int _{0}^{2\pi} \dfrac{re^{ -i\theta }}{r} re^{ i\theta } i\, d\theta =\int _{0}^{2\pi}ri \, d\theta =2\pi ri \end{align}$$ 所以题目积分值为 $6\pi i$ >[!important] 注意 > > $\overline{z}$ 不解析， $f(\overline{z})$ 不一定解析， 所以不能想当然认为：~~使用柯西积分定理，结果为 0~~ ### 重要结论 $C$ 为以 $z_{0}$ 为中心， $r$ 为半径的正向圆周，积分路径的参数方程为： $$\begin{align} z=z_{0}+re^{ i\theta }\quad (0\leq\theta\leq 2\pi) \end{align}$$ $$\begin{align} \oint_{C} \dfrac{1}{(z-z_{0})^{n+1}}dz&=\int _{0}^{2\pi} \dfrac{ire^{ i\theta }}{r^{n+1}e^{ i(n+1)\theta }}\, d \theta =\dfrac{i}{r^{n}} \int _{0}^{2\pi} e^{ -in\theta }\, d\theta \end{align}$$ $$\begin{align} & n=0: \quad \oint_{C} \dfrac{1}{(z-z_{0})^{n+1}}dz=i \int _{0}^{2\pi} \, d\theta=2\pi i \\ & n\neq 0: \quad \oint_{C} \dfrac{1}{(z-z_{0})^{n+1}}dz=\dfrac{i}{r^{n}} \int _{0}^{2\pi} (\cos n\theta-i\sin n\theta)\, d\theta=0 \end{align}$$ 即可得到： $$\oint_{C} \dfrac{1}{(z-z_{0})^{n+1}}dz=\begin{cases} 2\pi i\quad n=0 \\ \\ 0\quad \quad n\neq 0 \end{cases}$$ > 这表明表明积分与积分路径圆周的中心和半径无关，实际上，此结论也是之后章节的解：[[柯西积分公式\|柯西积分公式]]、[[解析函数的高阶导数\|解析函数的高阶导数]]、[[留数\|留数]]都可推出此结论 ### 复积分的证明 $$\int _{C}f(z) \, dz=\lim\limits_{ \lambda \to 0}\sum\limits_{k=1}^{n}f(\zeta_{k})\Delta z_{k}$$ $$\begin{align} & \,\quad \sum\limits_{k=1}^{n}f(\zeta_{k})\Delta z_{k} \\ &=\sum\limits_{k=1}^{n}[u(\xi_{k},\eta_{k})+iv(\xi_{k},\eta_{k})](\Delta x_{k}+i\Delta y_{k}) \\ &=\sum\limits_{k=1}^{n}[u(\xi_{k},\eta_{k})\Delta x_{k}-v(\xi_{k},\eta_{k})\Delta y_{k}]+i\sum\limits_{k=1}^{n}[v(\xi_{k},\eta_{k})\Delta x_{k}+u(\xi_{k},\eta_{k})\Delta y_{k}]\\ & \,\quad \int _{C} f(z)\, dz \\ &=\int _{C}u(x,y)\, dx -v(x,y)dy+i \int _{C}v(x,y) \, dx +u(x,y)\, dy \end{align}$$ >[!note] 复积分的证明 > >其实就是积分和的定义、复数乘法、取极限 ### 复积分的性质 [[线性变换\|叠加原理]]： $$\begin{align} & \int _{C}f(z)\, dz=-\int_{C^{-}} f(z) \, dz \\ & \int _{C}kf(z)\, dz=k\int _{C}f(z)\, dz \\ & \int _{C}\left[f(z)\pm g(z)\right]\, dz=\int _{C}f(z)\, dz\pm \int _{C}g(z)\, dz \end{align}$$ 估值不等式： $$\begin{align} |\int _{C}f(z)dz |\leq \int _{C}|f(z)|\, ds\leq ML \end{align}$$ $M$ 为 $|f(z)|$ 的最大值，$L$ 为曲线 $C$ 的长度