Law of Large Numbers 大量测量值的算术平均值具有稳定性，即频率收敛概率
随机变量序列： 常表示为 其中每一个 都为随机变量
则称序列依概率收敛 ： 设 为两两互不相关的随机变量序列 对于任意给定的正数 , 有
\bar{X}=\dfrac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^{n} X_{k}\quad \to E(X) \end{align}$$ 三个大数定律结论都相同，只是变换了条件 ### Chebyshev 大数定律 由[[切比雪夫不等式\|切比雪夫不等式]]得到 $X_{1},X_{2},\cdots,X_{n},\cdots$ 为一列两两[[相关系数\|不相关]]的随机变量序列 期望方差均存在，方差有共同的上界 $$\begin{align} \lim\limits_{ n \to \infty } P\left\{\left\lvert \dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}X_{i}-\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}E(X_{i}) \right\rvert <\varepsilon\right\}=1 \end{align}$$ **推论**： $X_{1},X_{2},\cdots,X_{n},\cdots$ 为一列[[独立同分布\|独立同分布]]的随机变量序列 期望方差均存在，$E(X_{i})=\mu$ $$\begin{align} \lim\limits_{ n \to \infty } P\left\{\left\lvert \dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}X_{i}-\mu \right\rvert <\varepsilon\right\}=1 \end{align}$$ ### Bernoulli 大数定律 $n_{A}$ 是 [[n重伯努利试验\|n重伯努利试验]]中事件 A 发生的次数，$p$ 是事件 A 发生的概率 $$\begin{align} \lim\limits_{ n \to \infty } P\left\{|\dfrac{n_{A}}{n}-p |<\varepsilon\right\}=1 \end{align}$$ 也就是频率 $\dfrac{n_{A}}{n}$ 趋近于概率 $p$ ### Khinchin 大数定律 [[独立同分布\|独立同分布]]的随机变量的均值收敛到数学期望 (不要求方差存在) $X_{1},X_{2},\cdots,X_{n},\cdots$ 相互独立，服从同一分布，且具有数学期望 $\mu$ $E_(X_{i})=\mu$ 对于任意 $\varepsilon>0$, 有： $$\begin{align} \lim\limits_{ n \to \infty } P\left\{\left\lvert \dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}X_{i}-\mu \right\rvert<\varepsilon\right\}=1 \end{align}$$