微积分基本定理

Fundamental Theorem of Calculus

一、积分上限的函数及其导数

（含参变量的积分）

$f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，并且 $x$ 为区间 $[a,b]$ 上的一点，则 $f(x)$ 在 $[a,x]$ 上的定积分定义了一个函数 (对每一个 $x$, 定积分有一个对应的值)：

\varPhi(x)=\int _{a}^{x} f(t)\, dt \end{align}$$ #### 基本定理 ==定理 1==：$f (x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，则积分上限的函数在区间上可导，且导数为 $f (x)$ $$\begin{align} \varPhi'(x)=\dfrac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \int _{a}^{x} f(t)\, dt =f(x)\quad (a\leq x\leq b) \end{align}$$ ==定理 2==：如果函数 $f (x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，则积分上限的函数为 $f (x)$ 的一个原函数 $$\begin{align} \dfrac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \left(\int _{a}^{g(x)} f(t)\, dt \right) =f[g(x)]g'(x) \end{align}$$ $$\begin{align} \dfrac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \left(\int _{a(x)}^{b(x)} f(t)\, dt \right) =f[b(x)]b'(x)-f[a(x)]a'(x) \end{align}$$ >[!important] 注意 > > 变限积分的导数，如果对某一元素进行求导，而积分中又含有该元素，必须将该元素提到积分符号外，或者通过换元法提出。 #### 实际例子 明确积分变量、中间变量、求导变量 情形一：直接提取变量 $$\begin{align} \dfrac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \left(\int _{0}^{x^{2}} x\cos t\, dt \right)=\dfrac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \left(x\int _{0}^{x^{2}} \cos t\, dt \right)=\int _{0}^{x^{2}} \cos t\, dt +x\cdot \cos x^{2}\cdot 2x \end{align}$$ 情形二：换元法改变积分形式 $$\begin{align} \dfrac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \left( \int _{0}^{\cos x} \sin(x-t)\, dt \right) & =\dfrac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \left( \int _{0}^{\cos x} \sin(x-t)\, dt \right)=\dfrac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \left(-\int _{x}^{x-\cos x} \sin u \, du \right) \\ & =\sin x-\sin(x-\cos x)(1+\sin x) \end{align}$$ ### 二、微积分基本定理 由上述变积分上限的函数的积分可以进一步提炼，得到==牛顿莱布尼茨公式==： $$\begin{align} \int _{a}^{b} f(x)\, dx=\left[F(x)\right]_{a}^{b} =F(b)-F(a) \end{align}$$ 进一步揭示[[定积分\|定积分]]与[[不定积分\|不定积分]]（被积函数的原函数）的联系：一个连续函数在区间 $[a,b]$ 上的定积分等于任一个原函数在区间 $[a,b]$ 上的增量