定积分

Definite Integral

本质是和式的极限：分割、近似、求和、取极限

一、定积分的定义

\int _{a}^{b} f(x)\, dx =\lim\limits_{ \lambda \to 0 } \sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_{i})\Delta x_{i} \end{align}$$ $$\begin{align} \lim\limits_{ n \to \infty } \dfrac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{\infty} f(\dfrac{i}{n}) =\int _{0}^{1} f(x)\, dx \end{align}$$ $$\begin{align} \lim\limits_{ n \to \infty } \dfrac{b-a}{n} \sum\limits_{i=1}^{\infty} f(a+ \dfrac{(b-a)i}{n})=\int _{a}^{b} f(x)\, dx \end{align}$$ ### 二、定积分的性质 由定积分的定义得到 #### 性质 1 交换积分上下限，符号改变 $$\begin{align} \int _{a }^{b} f(x)\, dx =- \int _{b}^{a} f(x)\, dx \end{align}$$ #### 性质 2 满足[[线性变换\|叠加原理]] $$\begin{align} \int _{a}^{b} \left[\alpha f(x)+\beta g(x)\right] \, dx =\alpha \int _{a}^{b} f(x)\, dx +\beta \int _{a}^{b} g(x)\, dx \end{align}$$ #### 性质 3 积分区间可拆分 $$\begin{align} \int _{a}^{b} f(x)\, dx =\int _{a}^{c} f(x)\, dx +\int _{c}^{b} f(x)\, dx \end{align}$$ #### 性质 4 如果 $f (x)\geq 0$，则有： $$\begin{align} \int _{a}^{b} f(x)\, dx \geq 0 \quad (a<b) \end{align}$$ 推论 1：如果 $f (x)\leq g(x)$，有： $$\begin{align} \int _{a}^{b} f(x)\, dx \leq\int _{a}^{b} g(x)\, dx\quad (a<b) \end{align}$$ 推论 2： $$\begin{align} & \Rightarrow \left\lvert \int _{a}^{b} f(x)\, dx \right\rvert\leq \int _{a}^{b} \left\lvert f(x) \right\rvert\, dx \quad (a<b) \end{align}$$ #### 性质 5 ==估值定理==：在区间 $[a,b]$ 上，$m\leq f (x)\leq M$ $$\begin{align} m(b-a)\leq \int _{a}^{b} f(x)\, dx \leq M(b-a)\quad (a<b) \end{align}$$ #### 性质 6 ==定积分中值定理==：积分中值公式 $$\begin{align} \int _{a}^{b} f(x)\, dx =f(\xi)(b-a)\quad (a\leq \xi \leq b) \end{align}$$ $f(\xi)$ 可看作函数 $f (x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的平均值 $$\begin{align} m\leq f(\xi)= \dfrac{1}{b-a} \int _{a}^{b} f(x)\, dx \leq M \end{align}$$ 和[[微分中值定理\|微分中值定理]]有紧密的联系: $$\begin{align} F(b)-F(a)=F'(\xi)(b-a) \end{align}$$ ### 定积分的计算 见[[定积分的积分方法\|定积分的积分方法]]