指数函数

Exponential Function

y=a^{x} \end{align}$$ $a$ 为底数，$x$ 为指数 自然指数函数 $y=e^{ x }$ 以[[自然常数e\|自然常数e]] 为底数，与[[对数函数\|对数函数]]互为反函数 ### 定义 复平面内定义一个函数 $f(z)$: 1. $f(z)$ 在复平面内处处[[解析\|解析]] 2. $f'(z)=f(z)$ 3. $当Im(z)=y=0时 \quad f (z)=e^{ x }\quad 其中x=Re(z)$ $\exp z=e^{z}= e^{ x+iy }=e^{ x }(\cos y+i\sin y)$ 等价关系式： $$\begin{cases} |\exp z|=e^{ x } \\ Arg(\exp z)=y+2k\pi \end{cases}$$ [[复数\|复数的指数形式]] ### 性质 **加法定理**：$\exp z_{1}\cdot\exp z_{2}=\exp(z_{1}+z_{2})$ **周期性**：周期为 $2\pi i$ $$\begin{align} e^{ z+2k\pi i }=e^{ z }\cdot e^{ ^{2k\pi i} }=e^{ z } \quad {\color{red}\Leftrightarrow} \quad f(z)=f(z+2k\pi i) \end{align}$$