Exponential of Matrix
求解微分方程组的工具，求解状态空间方程
Description
一、基本定义
系统输入量为零时，由初始状态引起的自由运动，可以表示为齐次微分方程：
\mathbf{\dot{x}}=A\mathbf{x} \end{align}$$ 设状态方程的解为 $t$ 的向量幂级数，则有： $$\begin{align} \mathbf{x}(t)&=\mathbf{b}_{0}+\mathbf{b}_{1}t+\mathbf{b}_{2}t^{2}+\cdots+\mathbf{b}_{k}t^{k}+\cdots \\ \dot{\mathbf{x}}(t)&=\mathbf{b}_{1}+2\mathbf{b}_{2}t+\cdots+k\mathbf{b}_{k}t^{k-1}+\cdots \\ &=A(\mathbf{b}_{0}+\mathbf{b}_{1}t+\mathbf{b}_{2}t^{2}+\cdots+\mathbf{b}_{k}t^{k}+\cdots) \end{align}$$ 对比系数可以得到：$\mathbf{b}_{1}=A\mathbf{b}_{0}$，$\mathbf{b}_{k}=\dfrac{1}{k}A\mathbf{b}_{k-1}=\dfrac{1}{k!}A^{k}\mathbf{b}_{0}$，令 $\mathbf{b}_{0}=\mathbf{x}_{0}$, 得到： $$\begin{align} \mathbf{x}(t)&=\left(I+At+\dfrac{1}{2}A^{2}t^{2}+\cdots+\dfrac{1}{k!}A^{k}t^{k}+\cdots\right)\mathbf{x}_{0} \end{align}$$ 由[[泰勒级数\|泰勒级数]]知： $$e^x=1+x+\dfrac{1}{2!}x^2+\dfrac{1}{3!}x^3+\dfrac{1}{4!}x^4+\dotsb$$ 则定义齐次微分方程的解为： $$e^{ At }=\varPhi(t)={I}+{A}t+\dfrac{1}{2!}{A}t^2+\dfrac{1}{3!}{A}t^3+\dfrac{1}{4!}{A}t^4+\dotsb$$ - 向量微分方程和标量微分方程具有相似形式的解，将 $e^{ At }$ 称为**矩阵指数** - $\mathbf{x}(t)$ 由 $\mathbf{x}(0)$ 转移而来，对于线性定常系统，$e^{ At }=\varPhi(t)$ 又称**状态转移矩阵** 反映从初始时刻的状态矢量 $\mathbf{x}_{0}$ 到时刻 $t$ 的状态矢量 $\mathbf{x}(t)$ 的矢量变化关系（在状态空间中转移） ### 二、状态转移矩阵的基本性质 - 组合性质: $$\begin{align} \varPhi(t) \varPhi(\tau)=\varPhi(t+\tau)\quad \varPhi(t-t)=\varPhi(0)=I \end{align}$$ - 转移矩阵的逆意味着时间的逆转： $$\begin{align} \left[\varPhi(t) \right]^{-1}= \varPhi(-t)\quad \Leftrightarrow\quad (e^{ At })^{-1}=e^{ A(-t) } \end{align}$$ - 导数性质、与系统矩阵可交换： $$\begin{align} \dot{\varPhi}(t)=A \varPhi (t)=\varPhi (t) A\quad \Rightarrow \quad A=\left. \dot{\varPhi}(t) \varPhi (t)^{-1}\right\rvert_{t=0}= \dot{\varPhi}(0) \end{align}$$ - 当且仅当矩阵乘法可交换时，有： $$\begin{align} AB=BA \quad \Rightarrow \quad e^{ At }e^{ Bt } =e^{ (A+B)t} \end{align}$$ ### 三、特殊矩阵的指数函数 由[[状态向量的线性变换\|状态向量的线性变换]]知道： 当**特征值无重根**时： $$\begin{align} T^{-1}AT=\Lambda \quad \Rightarrow \quad \varPhi({t}) =e^{ At } =T e^{ \Lambda t }T^{-1} \end{align}$$ $$\begin{align} \Lambda = \begin{pmatrix} \lambda_{1} \\ & \lambda_{2} \\ & & \ddots \\ & & & \lambda_{n} \end{pmatrix} \quad e^{ \Lambda t } = \begin{pmatrix} e^{ \lambda_{1}t } & & & \\ & e^{ \lambda_{2} t}& & \\ && \ddots & \\ & & & e^{ \lambda_{n}t } \end{pmatrix} \end{align}$$ 当**特征值有重根**时： $$\begin{align} T^{-1}AT=J \quad \Rightarrow \quad \varPhi({t}) =e^{ At } =T e^{ J t }T^{-1} \end{align}$$ $$\begin{align} J =\begin{pmatrix} \lambda & 1 & \\ & \lambda & 1 \\ & & \ddots & \ddots \\ & & & \lambda & 1 \\ & & & & \lambda \end{pmatrix}_{n\times n} \quad e^{ Jt } =e^{ \lambda t }\begin{pmatrix} 1 & t & \dfrac{1}{2!}t^{2} & \cdots & \dfrac{1}{(n-1)!}t^{n-1} \\ 0 & 1 & t & \cdots & \dfrac{1}{(n-2)!}t^{n-2} \\ \vdots & \vdots & \vdots& \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & t \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ \end{pmatrix} \end{align}$$ $$\begin{align} J =\begin{pmatrix} \lambda & 1 & \\ & \lambda & 1 \\ & & \lambda \\ \end{pmatrix}_{3\times 3} \quad e^{ Jt } =e^{ \lambda t }\begin{pmatrix} 1 & t & \dfrac{1}{2!}t^{2} \\ 0 & 1 & t \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \end{align}$$ ### 四、简要证明 > 这里只简要证明： 当**特征值无重根**时, $e^{ At } =T e^{ \Lambda t }T^{-1}$ 容易知道： $$\begin{align} \dfrac{\mathrm{d} e^{ \mathbf{A}t }}{\mathrm{d} t} =\mathbf{0}+\mathbf{A}+\mathbf{A}^{2}t+ \dfrac{1}{2!}\mathbf{A}^{3}t+\cdots=\mathbf{A}(e^{ \mathbf{A}t }) \end{align}$$ 如果 $\mathbf{x}$ 为矩阵 $A$ 的特征向量，$\lambda$ 为特征值，则有： $$\begin{align} e^{ At } \mathbf{x} &=e^{ \lambda t }\mathbf{x} \end{align}$$ - 当 $\mathbf{A}=\mathbf{0}$ 时 $e^{ \mathbf{A}t }=\mathbf{I}$ - 当 $\mathbf{A}=\boldsymbol{\Lambda}$ 时 $$\begin{align} e^{ \boldsymbol{\Lambda}t }&=\mathbf{I}+\boldsymbol{\Lambda}t+\dfrac{1}{2!}(\boldsymbol{\Lambda}t)^{2}+\dfrac{1}{3!}(\boldsymbol{\Lambda}t)^{3} +\cdots\\ \\ &=\begin{pmatrix} & 1 \\ && 1 \\ &&&\ddots \\ &&&& 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} &{\lambda}_{1}t \\ &&{\lambda}_{2}t \\ &&&\ddots \\ &&&&{\lambda}_{n}t \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} & \dfrac{1}{2!} { \lambda}_{1} \\ && \dfrac{1}{2!} { \lambda}_{2} \\ &&&\ddots \\ &&&& \dfrac{1}{2!} { \lambda}_{n} \end{pmatrix}+\cdots \\ &=\begin{pmatrix} & e^{\lambda _1 t} \\ && e^{\lambda _2 t} \\ &&&\ddots \\ &&&& e^{\lambda _n t} \end{pmatrix} \end{align}$$ 由矩阵的[[矩阵对角化\|特征分解]]知：矩阵可以进行**对角化**，进一步有 $$\begin{gathered} \mathbf{A}= X\boldsymbol{\Lambda}X^{-1} \; {\color{red}\Rightarrow} \; \mathbf{A}^{n}=X\boldsymbol{\Lambda}^{n}X^{-1} \end{gathered}$$ - $X$ 为特征向量构成的矩阵 - $\boldsymbol{\Lambda}$ 为特征值为主对角线的对角矩阵 $$\begin{align} e^{\mathbf{A}t} & ={I}+{A}t+\dfrac{1}{2!}{A}t^2+\dfrac{1}{3!}{A}t^3+\dfrac{1}{4!}{A}t^4+\dotsb \\ & =XX^{-1}+ X\boldsymbol{\Lambda}X^{-1} t+ \dfrac{1}{2!}X\boldsymbol{\Lambda}^{2}X^{-1}t+ \dfrac{1}{3!}X\boldsymbol{\Lambda}^{3}X^{-1}+\cdots\\ \\ & =X e^{ \boldsymbol{\Lambda}t }X^{-1} \end{align}$$ --- ## AI 结构化补充（2026-05-02） **Exponential of Matrix** >求解微分方程组的工具，求解状态空间方程 >[!important] Description > >前置知识：[[泰勒级数\|泰勒级数]] [[矩阵\|矩阵]] [[指数函数\|指数函数]] [[状态空间#状态空间表达式\|状态空间方程]] >本节就是建立在齐次微分方程（齐次状态空间方程）的求解的基础上，借助泰勒级数的形式，定义的矩阵指数函数。 ### 一、基本定义 系统输入量为零时，由初始状态引起的自由运动，可以表示为齐次微分方程： $$\begin{align} \mathbf{\dot{x}}=A\mathbf{x} \end{align}$$ 设状态方程的解为 $t$ 的向量幂级数，则有： $$\begin{align} \mathbf{x}(t)&=\mathbf{b}_{0}+\mathbf{b}_{1}t+\mathbf{b}_{2}t^{2}+\cdots+\mathbf{b}_{k}t^{k}+\cdots \\ \dot{\mathbf{x}}(t)&=\mathbf{b}_{1}+2\mathbf{b}_{2}t+\cdots+k\mathbf{b}_{k}t^{k-1}+\cdots \\ &=A(\mathbf{b}_{0}+\mathbf{b}_{1}t+\mathbf{b}_{2}t^{2}+\cdots+\mathbf{b}_{k}t^{k}+\cdots) \end{align}$$ 对比系数可以得到：$\mathbf{b}_{1}=A\mathbf{b}_{0}$，$\mathbf{b}_{k}=\dfrac{1}{k}A\mathbf{b}_{k-1}=\dfrac{1}{k!}A^{k}\mathbf{b}_{0}$，令 $\mathbf{b}_{0}=\mathbf{x}_{0}$, 得到： $$\begin{align} \mathbf{x}(t)&=\left(I+At+\dfrac{1}{2}A^{2}t^{2}+\cdots+\dfrac{1}{k!}A^{k}t^{k}+\cdots\right)\mathbf{x}_{0} \end{align}$$ 由[[泰勒级数\|泰勒级数]]知： $$e^x=1+x+\dfrac{1}{2!}x^2+\dfrac{1}{3!}x^3+\dfrac{1}{4!}x^4+\dotsb$$ 则定义齐次微分方程的解为： $$e^{ At }=\varPhi(t)={I}+{A}t+\dfrac{1}{2!}{A}^{2}t^2+\dfrac{1}{3!}{A}^{3}t^3+\dfrac{1}{4!}{A}^{4}t^4+\dotsb$$ - 向量微分方程和标量微分方程具有相似形式的解，将 $e^{ At }$ 称为**矩阵指数** - $\mathbf{x}(t)$ 由 $\mathbf{x}(0)$ 转移而来，对于线性定常系统，$e^{ At }=\varPhi(t)$ 又称**状态转移矩阵** 反映从初始时刻的状态矢量 $\mathbf{x}_{0}$ 到时刻 $t$ 的状态矢量 $\mathbf{x}(t)$ 的矢量变化关系（在状态空间中转移） ### 二、状态转移矩阵的基本性质 - 组合性质: $$\begin{align} \varPhi(t) \varPhi(\tau)=\varPhi(t+\tau)\quad \varPhi(t-t)=\varPhi(0)=I \end{align}$$ - 转移矩阵的逆意味着时间的逆转： $$\begin{align} \left[\varPhi(t) \right]^{-1}= \varPhi(-t)\quad \Leftrightarrow\quad (e^{ At })^{-1}=e^{ A(-t) } \end{align}$$ - 导数性质、与系统矩阵可交换： $$\begin{align} \dot{\varPhi}(t)=A \varPhi (t)=\varPhi (t) A\quad \Rightarrow \quad A=\left. \dot{\varPhi}(t) \varPhi (t)^{-1}\right\rvert_{t=0}= \dot{\varPhi}(0) \end{align}$$ - 当且仅当矩阵乘法可交换时，有： $$\begin{align} AB=BA \quad \Rightarrow \quad e^{ At }e^{ Bt } =e^{ (A+B)t} \end{align}$$ ### 三、特殊矩阵的指数函数 由[[状态向量的线性变换\|状态向量的线性变换]]知道： 当**特征值无重根**时： $$\begin{align} T^{-1}AT=\Lambda \quad \Rightarrow \quad \varPhi({t}) =e^{ At } =T e^{ \Lambda t }T^{-1} \end{align}$$ $$\begin{align} \Lambda = \begin{pmatrix} \lambda_{1} \\ & \lambda_{2} \\ & & \ddots \\ & & & \lambda_{n} \end{pmatrix} \quad e^{ \Lambda t } = \begin{pmatrix} e^{ \lambda_{1}t } & & & \\ & e^{ \lambda_{2} t}& & \\ && \ddots & \\ & & & e^{ \lambda_{n}t } \end{pmatrix} \end{align}$$ 当**特征值有重根**时： $$\begin{align} T^{-1}AT=J \quad \Rightarrow \quad \varPhi({t}) =e^{ At } =T e^{ J t }T^{-1} \end{align}$$ $$\begin{align} J =\begin{pmatrix} \lambda & 1 & \\ & \lambda & 1 \\ & & \ddots & \ddots \\ & & & \lambda & 1 \\ & & & & \lambda \end{pmatrix}_{n\times n} \quad e^{ Jt } =e^{ \lambda t }\begin{pmatrix} 1 & t & \dfrac{1}{2!}t^{2} & \cdots & \dfrac{1}{(n-1)!}t^{n-1} \\ 0 & 1 & t & \cdots & \dfrac{1}{(n-2)!}t^{n-2} \\ \vdots & \vdots & \vdots& \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & t \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ \end{pmatrix} \end{align}$$ $$\begin{align} J =\begin{pmatrix} \lambda & 1 & \\ & \lambda & 1 \\ & & \lambda \\ \end{pmatrix}_{3\times 3} \quad e^{ Jt } =e^{ \lambda t }\begin{pmatrix} 1 & t & \dfrac{1}{2!}t^{2} \\ 0 & 1 & t \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \end{align}$$ ### 四、简要证明 > 这里只简要证明： 当**特征值无重根**时, $e^{ At } =T e^{ \Lambda t }T^{-1}$ 容易知道： $$\begin{align} \dfrac{\mathrm{d} e^{ \mathbf{A}t }}{\mathrm{d} t} =\mathbf{0}+\mathbf{A}+\mathbf{A}^{2}t+ \dfrac{1}{2!}\mathbf{A}^{3}t+\cdots=\mathbf{A}(e^{ \mathbf{A}t }) \end{align}$$ 如果 $\mathbf{x}$ 为矩阵 $A$ 的特征向量，$\lambda$ 为特征值，则有： $$\begin{align} e^{ At } \mathbf{x} &=e^{ \lambda t }\mathbf{x} \end{align}$$ - 当 $\mathbf{A}=\mathbf{0}$ 时 $e^{ \mathbf{A}t }=\mathbf{I}$ - 当 $\mathbf{A}=\boldsymbol{\Lambda}$ 时 $$\begin{align} e^{ \boldsymbol{\Lambda}t }&=\mathbf{I}+\boldsymbol{\Lambda}t+\dfrac{1}{2!}(\boldsymbol{\Lambda}t)^{2}+\dfrac{1}{3!}(\boldsymbol{\Lambda}t)^{3} +\cdots\\ \\ &=\begin{pmatrix} & 1 \\ && 1 \\ &&&\ddots \\ &&&& 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} &{\lambda}_{1}t \\ &&{\lambda}_{2}t \\ &&&\ddots \\ &&&&{\lambda}_{n}t \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} & \dfrac{1}{2!} { \lambda}_{1}^{2}t^{2} \\ && \dfrac{1}{2!} { \lambda}_{2}^{2}t^{2} \\ &&&\ddots \\ &&&& \dfrac{1}{2!} { \lambda}_{n}^{2}t^{2} \end{pmatrix}+\cdots \\ &=\begin{pmatrix} & e^{\lambda _1 t} \\ && e^{\lambda _2 t} \\ &&&\ddots \\ &&&& e^{\lambda _n t} \end{pmatrix} \end{align}$$ 由矩阵的[[矩阵对角化\|特征分解]]知：矩阵可以进行**对角化**，进一步有 $$\begin{gathered} \mathbf{A}= X\boldsymbol{\Lambda}X^{-1} \; {\color{red}\Rightarrow} \; \mathbf{A}^{n}=X\boldsymbol{\Lambda}^{n}X^{-1} \end{gathered}$$ - $X$ 为特征向量构成的矩阵 - $\boldsymbol{\Lambda}$ 为特征值为主对角线的对角矩阵 $$\begin{align} e^{\mathbf{A}t} & ={I}+{A}t+\dfrac{1}{2!}{A}^2t^2+\dfrac{1}{3!}{A}^3t^3+\dfrac{1}{4!}{A}^4t^4+\dotsb \\ & =XX^{-1}+ X\boldsymbol{\Lambda}X^{-1} t+ \dfrac{1}{2!}X\boldsymbol{\Lambda}^{2}X^{-1}t^2+ \dfrac{1}{3!}X\boldsymbol{\Lambda}^{3}X^{-1}t^3+\cdots\\ \\ & =X e^{ \boldsymbol{\Lambda}t }X^{-1} \end{align}$$ ### 五、常系数系统中的特征解 矩阵指数把常系数线性微分方程组\dot{\mathbf{x}}=A\mathbf{x}
\mathbf{x}(t)=e
如果 $A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}$，则\mathbf{x}(t)=e^{\lambda t}\mathbf{v}
是一个纯指数解。可对角化时，令 $A=X\Lambda X^{-1}$，得到e^{At}=Xe^{\Lambda t}X^{-1}, \qquad \mathbf{x}(t)=\sum_i c_i e^{\lambda_i t}\mathbf{v}_i.
A=\begin{pmatrix}1&1\0&2\end{pmatrix}, \qquad \mathbf{x}(0)=\begin{pmatrix}2\1\end{pmatrix}.
特征值为 $1,2$，特征向量可取 $(1,0)^T,(1,1)^T$，且 $\mathbf{x}(0)=(1,0)^T+(1,1)^T$，所以\mathbf{x}(t) =e^t\begin{pmatrix}1\0\end{pmatrix} +e
当重复特征值缺少足够特征向量时，$e^{Jt}$ 中的上三角幂零部分会产生 $te^{\lambda t}$ 等项；当 $A^T=-A$ 时，$e^{At}$ 是正交矩阵，因而保持状态向量长度。