斐波那契数列

Fibonacci Sequence 斐波那契数列是一个每一项都是前两项和的整数数列，通常定义为

F(0)=0 \quad F(1)=1 \\ \\ F(n)=F(n-1)+F(n-2)\quad n>1 \end{cases}$$ ```python def fibonacci(n): a, b = 0, 1 for _ in range(n): a, b = b, a + b return a # 生成斐波那契数列的前10项 n = 10 fib_sequence = [fibonacci(i) for i in range(n)] print(f"Fibonacci sequence up to {n} terms: {fib_sequence}") ``` 斐波那契数列的相邻项的比值逼近 [[黄金分割率\|黄金分割率]] $$\begin{align} \phi=\lim\limits_{ n \to \infty } \dfrac{F(n+1)}{F(n)} \end{align}$$ ### 从特征值的角度理解 斐波那契数列本质是一个[[差分方程\|差分方程]] $$\begin{cases} F_{k+2}=F_{k+1}+F_{k} \\ F_{K+1}=F_{K+1} \end{cases}$$ 构建向量 $\mathbf{u}_{k}=\begin{bmatrix} F_{k+1}\\F_{k}\end{bmatrix}$，根据递推关系有 $\mathbf{u}_{k+1}=\begin{bmatrix}1& 1\\1& 0\end{bmatrix}\mathbf{u}_{k}$ $\mathbf{u}_{0}=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix},\mathbf{u}_{1}=\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix},\mathbf{u}_{2}=\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix},\cdots,\mathbf{u}_{k}=\begin{bmatrix} F_{k+1}\\F_{k}\end{bmatrix}$ 计算[[特征值和特征向量\|特征值和特征向量]]： $A-\lambda E=\begin{bmatrix} 1-\lambda & 1 \\ 1 & -\lambda\end{bmatrix}\Rightarrow \det(A-\lambda E)=\lambda^{2}-\lambda-1$ 特征值： $\lambda_{1}=\dfrac{1+\sqrt{ 5 }}{2},\lambda_{2}=\dfrac{1-\sqrt{ 5 }}{2}$ 特征向量： $\mathbf{x}_{1}=(\lambda_{1},1),\mathbf{x}_{2}=(\lambda_{2},1)$ 使用特征向量的线性组合表达第一个元素 $\mathbf{u}_{0}$ $\mathbf{u}_{0}= \dfrac{1}{\lambda_{1}-\lambda_{2}}(\mathbf{x}_{1}-\mathbf{x}_{2})$ 所以 $u_{k}=A^{k}\mathbf{u}_{0}=\dfrac{1}{\lambda_{1}-\lambda_{2}}(\lambda_{1}^{k}\mathbf{x}_{1}-\lambda_{2}^{k}\mathbf{x}_{2})$ $\because\left\lvert \lambda_{2} \right\rvert<1 \quad\therefore\; \lim\limits_{ k \to \infty }\lambda_{2}^{k}=0,\lim\limits_{ k \to \infty } \dfrac{F_{k+1}}{F_{k}}=\lambda_{1}$ ### 实际应用 斐波那契数列属于数学的数论领域，同时也与计算机科学、生物学、经济学等领域有交叉。 **植物生长**：许多植物的叶序和分枝模式遵循斐波那契数列，例如向日葵的种子排列。