无穷

Infinity

与极限紧密相关

一、基本概念

1. 无穷小和无穷大的定义

无穷小：极限为零 $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=0/\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=0$ 无穷大：总存在正数 $\delta$ ，$M$ 为任意给定的正数，有：$0<\left|x-x_0\right|<\delta ,\left|f(x)\right|>M$ 则有：$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=\infty$

函数 $f(x)$ 具有极限 $A$ 的充分必要条件：$\underset{x\to x_0}{\lim }/\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=A\leftrightarrow f(x)=A+\alpha$

2. 无穷大与无穷小的关系

\lim\limits_{ x \to x_{0} } f(x)=0 \leftrightarrow \lim\limits_{ x \to x_{0} } \dfrac{1}{f(x)}=\infty \\ \lim\limits_{ x \to x_{0} } f(x)=\infty \leftrightarrow \lim\limits_{ x \to x_{0} } \dfrac{1}{f(x)}=0 \end{align}$$ #### 极限运算法则 ### 二、无穷小的应用 #### 无穷小的比较 | 极限定义 | 无穷小的类型 | 记号表达 | | ----------------------------------- | --------- | ------------------ | | $\lim \dfrac{\beta}{\alpha}=0$ | 高阶无穷小 | $\beta=o(\alpha)$ | | $\lim \dfrac{\beta}{\alpha}=\infty$ | 低阶无穷小 | | | $\lim \dfrac{\beta}{\alpha}=c$ | 同阶无穷小 | | | $\lim \dfrac{\beta}{\alpha}=1$ | **等价无穷小** | $\beta\sim \alpha$ | | $\lim \dfrac{\beta}{\alpha^{k}}=0$ | k 阶无穷小 | | #### 等价无穷小 互为等价无穷小的充分必要条件：$\beta\sim \alpha \leftrightarrow \beta=\alpha+o(\alpha)$ 可以使用等价无穷小进行极限计算： $$\begin{align} \alpha\sim \tilde{\alpha} ,\beta\sim \tilde{\beta} \quad \lim \dfrac{\beta}{\alpha} =\lim \dfrac{\tilde{\beta}}{\tilde{\alpha}} \end{align}$$ 常见的等价无穷小：$x\to 0$ $$x\sim \sin x\sim \tan x\sim \arcsin x\sim \arctan x\sim \ln(1+x)\sim e^{ x }-1$$ $$\begin{align} 1-\cos x\sim \dfrac{1}{2}x^{2}\quad \tan x-\sin x \sim \dfrac{1}{2}x^{3} \quad (1+x)^{\alpha}-1\sim \alpha x \end{align}$$ 可以扩展使用：$f(x)\to 0$ $$f(x)\sim \sin f(x)\sim \tan f(x)\sim \arcsin f(x)\sim \arctan f(x)\sim \ln(1+f(x))\sim e^{ f(x) }-1$$ $$\begin{align} 1-\cos f(x)\sim \dfrac{1}{2}f(x)^{2} \quad \tan f(x)-\sin f(x) \sim \dfrac{1}{2}f(x)^{3} \quad (1+f(x))^{\alpha}-1\sim \alpha f(x) \end{align}$$ #### 实际应用 也要注意变形，实际上等价无穷小可以解决很多问题 当 $x\to0$ 时，如果 $g(x)\to 0$，则有： $$\begin{align} f(x)^{g(x)}-1=e^{ g(x)\ln f(x) }-1\sim g(x)\ln(f(x)) \end{align}$$ 如果 $f(x)\to 1$， $$\begin{align} \sqrt[n]{ f(x) }-1\sim \dfrac{1}{n}(f(x)-1) \end{align}$$