极限 · lianqingyun

Limit 反映变量的局部性态与变化趋势，是实现无穷运算的唯一方法。

极限概念是在探求某些实际问题的精确解答过程中产生的。在解决实际问题中逐渐形成的极限方法，已成为高等数学中的一种基本方法。

“数学分析是一门什么学科?” 数学分析就是以极限概念为基础、极限理论为主要工具来研究函数的一门学科。并且计算结果误差小到难于想像，因此可以忽略不计。

极限的思想是近代数学的一种重要思想，指“用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想”。极限思想是微积分的基本思想，是数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数（为 0 得到极大值或极小值）以及定积分等等都是借助于极限来定义的。

极限思想揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系，是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的应用。借助极限思想，人们可以从有限认识无限，从“不变”认识“变”，从“直线构成形”认识“曲线构成形”，从量变去认识质变，从近似认识精确。

由极限存在准则得到两个重要极限

如果数列 ${x_{n}}$ ， ${y_{n}}$ ， ${z_{n}}$ 满足下列条件，则数列 ${x_{n}}$ 的极限存在，且 $n \to \infty lim x_{n} = a$

从某项起， $\exists n_{0} \in N_{+}$ ，当 $n > n_{0}$ 时，有： $y_{n} \leq x_{n} \leq z_{n}$
$n \to \infty lim y_{n} = a, n \to \infty lim z_{n} = a$

\lim\limits_{ x \to 0 } \dfrac{\sin x}{x}=1 \end{align}$$ $$\begin{align} \lim\limits_{ n \to \infty } n\cdot \sin \dfrac{c}{n}=c \end{align}$$ $$\begin{align} \lim\limits_{ n \to \infty } \sqrt[n]{ a^{n}+b^{n}+c^{n} }=max\left\{a,b,c \right\} \end{align}$$ #### 2. 准则 II 单调有界数列必有极限 ##### 数列极限 如果数列不仅有界，还是单调的，则此数列的极限必定存在，该数列一定收敛。 $$\begin{align} \lim\limits_{ n \to \infty } &(1+ \dfrac{1}{n})^{n}=e \end{align}$$ ##### 函数极限 $$\begin{align} \lim\limits_{ x \to \infty }(1+ \dfrac{1}{x})^{x}=e\quad \lim\limits_{ z \to 0 } (1+z)^{1/z}=e \end{align}$$ 简单记忆 $1^{\infty}=e$ 假设 $x\to x_{0},f(x)\to 0,g(x)\to \infty$ $$\begin{align} \lim\limits_{ x \to x_{0} } (1+f(x))^{g(x)}= \lim\limits_{ x \to x_{0} } (1+f(x))^{f(x)\cdot g(x)/f(x)} =\lim\limits_{ x \to x_{0} } e^{ g(x)/f(x) } \end{align}$$ ### 三、常见极限 | 常见极限 | | -------------------------------------------------------------------------------------------------------- | | $\lim\limits_{ n \to \infty } \sqrt[n]{ a^{n}+b^{n}+c^{n} }=max\left\{a,b,c \right\}$ | | $\lim\limits_{ x \to 0 } \dfrac{\sin x}{x}=1$ | | $\lim\limits_{ n \to \infty } \sqrt[n]{ a }=1 \quad \quad \lim\limits_{ n \to \infty } \sqrt[n]{ n }=1$ | | |

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