概率 · lianqingyun

Probability 概率 $P$

$f_{n} (A) = \frac{n _{A}}{n}$

$n_{A}$ 在 n 次试验中出现的次数事件 A 在 n 次试验的频率

统计定义只是描述性的，以实验为基础，但并不取决于试验

当随机试验的次数充分大时，事件A 发生的频率 $f_{A} (A)$ 稳定在某个数 $p$ 附近摆动则 $p$ 为事件的概率， $P (A) = p$

Kolmogorov： $Ω$ 为一个样本空间， $F$ 为 $Ω$ 的某些子集组成的一个事件域，对任一事件 $A \in F$ ，定义在事件域上的一个实值函数 $P (A)$ 满足以下三条公理：

Classical Probability 古典概型通常适用于离散的样本空间直接基于样本点的数量和等可能性来计算概率

通常适用于连续的样本空间基于几何测度（如长度、面积、体积等）来定义事件的概率。应用：蒙特卡洛方法

人们根据经验对按事件发生可能性所给出的个人信念

P\left ( \bigcup \limits _{i=1}^{n}A_{i} \right)=\sum\limits_{i=1}^{n}P (A_{i}) \end{align}$$ 3. **对立事件公式**：$P(\bar{A})=1-P (A)$ #### 2. 单调性 1. 对任意两个事件 $A,B$，且 $B\subset A$ $$\begin{align} P(A-B)=P(A)-P(B)\quad P(A)>P(B) \end{align}$$ 2. 对任意两个事件 $A,B$ ， **减法公式**： $$\begin{align} P(A-B)=P(A)-P(AB) \end{align}$$ #### 3. 加法公式 **加法公式**： $$\begin{align} &P(A\cup B)=P(A+B) \\ =&P(A)+P(B-AB)\\ =&P(A)+P(B)-P(AB) \end{align}$$ **半可加性**：$P(A\cup B)\leq P(A)+P(B)$ **任意 $n$ 个事件的加法公式**： $$\begin{align} P\left( \bigcup_{i=1}^{n}A_{i} \right)&=\sum\limits_{i=1}^{n}P(A_{i})-\sum\limits_{1\leq i<j\leq n}^{} P(A_{i}A_{j})+\sum\limits_{1\leq i<j<k\leq n}^{} P(A_{i}A_{j}A_{k}) \\ &+\cdots+(-1)^{n-1}P(A_{1}A_{2}\cdots A_{n}) \end{align}$$ 每个单独事件的概率之和-任意两个事件概率之积的和+任意三个事件概率之积的和- $\cdots$ $$\begin{align} P(A+B+C)&=P(A)+P(B)+P(C) \\ &\quad -P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC) \end{align}$$ ### 线性代数表示 有限个结果的概率可写成非负权重 $p_1,\ldots,p_n$，并满足

p_i\ge0,\qquad \sum_{i=1}^n p_i=1.

期望值不是简单平均，而是概率加权平均：

E[x]=p_1x_1+\cdots+p_nx_n=p\cdot x.

当结果连续时，离散概率 $p_i$ 换成概率密度 $p(x)$，区间概率由面积给出：

P(a\le x\le b)=\int_a^b p(x),dx=F(b)-F(a).

因此概率既可以理解为“总和为 $1$ 的权重”，也可以理解为“密度曲线下的面积”。前者适合有限样本空间和矩阵表示，后者适合连续随机变量和积分计算。

概率