条件概率

Conditional Probability

一、条件概率

事件 B 发生情况下事件 A 发生的概率 $P(A\mid B)=\frac{P(AB)}{P(B)}$

对单独的两个事件而言，各自发生的概率是确定的，而且不受另一个事件是否发生的影响

但是，如果已知一个事件发生，则需要对另一个事件发生的概率重新考虑（一个事件发生，会改变基本空间 (样本空间) 的大小，进而改变另一个事件的概率）

二、乘法公式

$P(AB)=P(B)P(A\mid B)=P(A)P(B\mid A)$ $P(A_1{A}_2\cdots A_n)=P(A_1)P(A_2\mid A_1)P(A_3\mid A_1{A}_2)\cdots P(A_n\mid A_1{A}_2\cdots A_{n-1})$

例题 100 个零件，10 件次品，不放回抽样依次抽取 3 次，求第三次才抽到合格品的概率 解答 设 $A_i$ 为第 $i$ 次抽到合格品的事件，也即求 $P(\overline{A_1}\overline{A_2}{A}_3)$ 的概率

P(\overline{A_{1}}\,\overline{A_{2}}A_{3})&=P(\overline{A_{1}} )P(\overline{A_{2}}\mid \overline{A_{1}} )P(A_{3}\mid \overline{A_{1}}\,\overline{A_{2}}) \\ &=\dfrac{10}{100}\cdot \dfrac{9}{99}\cdot \dfrac{90}{98} \end{align}$$ 或者将抽取 3 次看为一个事件 [[古典概型\|古典概型]] $$P=\dfrac{A_{10}^{2}\cdot 90}{A_{100}^{3}}=\dfrac{10\cdot 9\cdot 90}{100\cdot 99 \cdot 98}$$ ### 三、全概率公式 **Law of Total Probability** >**已知原因找结果**  $B_{1},B_{2},\cdots,B_{n}$ 为 $\Omega$ 的一个**分割/完备事件组/划分**，满足： 1. $B_{i}B_{j}=\varnothing,i \neq j\quad i,j=1,2\cdots n$ 2. $\bigcup \limits_{i=1}^{n}B_{i}=\Omega$ 已知每个划分及每个划分中 A 发生的概率，求 A 发生的概率 $$\begin{align} P(A)=P\left( \bigcup \limits _{i=1}^{n}AB_{i} \right) =\sum\limits_{i=1}^{n}P(AB_{i}) =\sum\limits_{i=1}^{n}P(A\mid B_{i})P(B_{i}) \end{align}$$ - $A$ 可理解为事件发生的结果 - $B_{i}$ 可理解为导致 $A$ 发生的原因 **最简单的形式：**$P(A)=P(B)P(A\mid B)+P(\overline{B})P(A\mid \overline{B})$ ### 四、贝叶斯公式 **Bayes' Theorem** [[贝叶斯公式\|贝叶斯公式]] >**已知结果找原因** $B_{1},B_{2},\cdots,B_{n}$ 为 $\Omega$ 的一个**分割/完备事件组/划分** 已知事件 A 发生，求其中一个划分的概率 $$\begin{align} P(B_{i}\mid A)=\frac{P(AB_{i})}{P(A)} =\frac{P(B_{i})P(A\mid B_{i})}{\sum\limits_{i=1}^{n}P(A\mid B_{i})P(B_{i})} \end{align}$$ ### 例题 ==问题== 油田钻井队打出油的概率为 0.07，出油的井恰位于有储油地质结构位置的概率为 0.85，不出油的井位于有储油地质结构位置的概率为 0.35 1. 则在有储油地质结构位置上打井的概率为？ 2. 在有储油地质结构位置上打的井出油的概率为？ ==解答== 打井（原因） $\to$ 出油 (结果) 设打的井出油为事件 A (结果) 在有储油地质结构位置上打井为事件 B （原因） 1. 打出油的概率 $P(A)=0.07$ $P(\overline{A})=0.93$ 出油的井恰位于有储油地质结构位置 (已知结果，推原因) $P(B\mid A)=0.85$ $P(B\mid \overline{A})=0.35$ $P(B)=P(B\mid A)P(A)+P(B\mid \overline{A})P(\overline{A})$ $P(B)=0.85\times 0.07+ 0.35\times 0.93$ 2. $P(A\mid B)=\dfrac{P(AB)}{P(B)}= \dfrac{P(B\mid A)P(A)}{P(B)}$ >[!important] 注意 > > 灵活处理！也不要过于纠结原因和结果，只要明确事件，转化题目的意义即可,灵活地应用公式解决 --- ## AI 结构化补充（2026-05-02） **Conditional Probability** ### 一、条件概率 事件 B 发生情况下事件 A 发生的[[概率\|概率]] $$P(A\mid B)=\dfrac{P(AB)}{P(B)}$$ 对单独的两个事件而言，各自发生的概率是确定的，而且不受另一个事件是否发生的影响 >但是，如果已知一个事件发生，则需要对另一个事件发生的概率重新考虑（一个事件发生，会改变基本空间 ([[随机事件\|样本空间]]) 的大小，进而改变另一个事件的概率） ### 二、离散随机变量形式 设

p_{ij}=P(X=x_i,Y=y_j)

是 $X$ 与 $Y$ 的[[联合概率\|联合概率]]矩阵元素。第 $i$ 行的行和

p_i=\sum_jp_{ij}=P(X=x_i)

是 $X=x_i$ 的边缘概率。若 $p_i>0$，则

P(Y=y_j\mid X=x_i)=\frac{p_{ij}}{p_i}.

这表示“已知 $X=x_i$”后，只保留联合矩阵第 $i$ 行，并把这一行重新归一化为总和为 $1$ 的[[概率向量\|概率向量]]。 例：给定

P= \begin{bmatrix} 0.1&0.3\ 0.2&0.4 \end{bmatrix},

$$行边缘概率为$$

p_1=0.1+0.3=0.4,\qquad p_2=0.2+0.4=0.6,

$$列边缘概率为$$

P_1=0.1+0.2=0.3,\qquad P_2=0.3+0.4=0.7.

$$于是$$

P(Y=y_2\mid X=x_1)=\frac{0.3}{0.4}=0.75,

P(Y=y_1\mid X=x_2)=\frac{0.2}{0.6}=\frac13.

若 $X,Y$ 独立，则

p_{ij}=p_iP_j,

$$并且$$

P(Y=y_j\mid X=x_i)=P_j.

两枚独立公平硬币的联合矩阵全为 $\frac14$，知道第一枚硬币的结果不会改变第二枚硬币正反面的概率。若两枚硬币按同面粘在一起，则只有 $(1,1)$ 与 $(0,0)$ 的概率为 $\frac12$，此时 $P(Y=1\mid X=1)=1$，$P(Y=0\mid X=1)=0$。 ### 三、乘法公式 $P(AB)=P(B)P(A\mid B)=P(A)P(B\mid A)$ $P(A_{1}A_{2}\cdots A_{n})=P(A_{1})P(A_{2}\mid A_{1})P(A_{3}\mid A_{1}A_{2})\cdots P(A_{n}\mid A_{1}A_{2}\cdots A_{n-1} )$ ==例题== 100 个零件，10 件次品，不放回抽样依次抽取 3 次，求第三次才抽到合格品的概率 ==解答== 设 $A_{i}$ 为第 $i$ 次抽到合格品的事件，也即求 $P(\overline{A_{1}}\,\overline{A_{2}}A_{3})$ 的概率 $$\begin{align} P(\overline{A_{1}}\,\overline{A_{2}}A_{3})&=P(\overline{A_{1}} )P(\overline{A_{2}}\mid \overline{A_{1}} )P(A_{3}\mid \overline{A_{1}}\,\overline{A_{2}}) \\ &=\dfrac{10}{100}\cdot \dfrac{9}{99}\cdot \dfrac{90}{98} \end{align}$$ 或者将抽取 3 次看为一个事件 [[古典概型\|古典概型]] $$P=\dfrac{A_{10}^{2}\cdot 90}{A_{100}^{3}}=\dfrac{10\cdot 9\cdot 90}{100\cdot 99 \cdot 98}$$ ### 四、全概率公式 **Law of Total Probability** >**已知原因找结果**  $B_{1},B_{2},\cdots,B_{n}$ 为 $\Omega$ 的一个**分割/完备事件组/划分**，满足： 1. $B_{i}B_{j}=\varnothing,i \neq j\quad i,j=1,2\cdots n$ 2. $\bigcup \limits_{i=1}^{n}B_{i}=\Omega$ 已知每个划分及每个划分中 A 发生的概率，求 A 发生的概率 $$\begin{align} P(A)=P\left( \bigcup \limits _{i=1}^{n}AB_{i} \right) =\sum\limits_{i=1}^{n}P(AB_{i}) =\sum\limits_{i=1}^{n}P(A\mid B_{i})P(B_{i}) \end{align}$$ - $A$ 可理解为事件发生的结果 - $B_{i}$ 可理解为导致 $A$ 发生的原因 **最简单的形式：**$P(A)=P(B)P(A\mid B)+P(\overline{B})P(A\mid \overline{B})$ ### 五、贝叶斯公式 **Bayes' Theorem** [[贝叶斯定理\|贝叶斯定理]] >**已知结果找原因** $B_{1},B_{2},\cdots,B_{n}$ 为 $\Omega$ 的一个**分割/完备事件组/划分** 已知事件 A 发生，求其中一个划分的概率 $$\begin{align} P(B_i\mid A)=\frac{P(AB_i)}{P(A)} =\frac{P(B_i)P(A\mid B_i)} {\sum\limits_{k=1}^{n}P(A\mid B_k)P(B_k)} \end{align}$$ 在联合概率记号下，乘法公式给出

p_{ij} =P(Y=y_j\mid X=x_i)P(X=x_i) =P(X=x_i\mid Y=y_j)P(Y=y_j).

若 $P(X=x_i)>0$，可得

P(Y=y_j\mid X=x_i) =\frac{P(X=x_i\mid Y=y_j)P(Y=y_j)}{P(X=x_i)}.

### 概念边界 条件概率不是对称关系，通常 $P(A\mid B)\ne P(B\mid A)$。分母事件必须有正概率；若 $P(B)=0$，普通离散条件概率 $P(A\mid B)$ 不定义。条件化也不等于因果判断，它只是在给定信息下重新分配概率；是否能解释为因果关系，还需要额外的建模假设或实验设计。 ### 例题 ==问题== 油田钻井队打出油的概率为 0.07，出油的井恰位于有储油地质结构位置的概率为 0.85，不出油的井位于有储油地质结构位置的概率为 0.35 1. 则在有储油地质结构位置上打井的概率为？ 2. 在有储油地质结构位置上打的井出油的概率为？ ==解答== 打井（原因） $\to$ 出油 (结果) 设打的井出油为事件 A (结果) 在有储油地质结构位置上打井为事件 B （原因） 1. 打出油的概率 $P(A)=0.07$ $P(\overline{A})=0.93$ 出油的井恰位于有储油地质结构位置 (已知结果，推原因) $P(B\mid A)=0.85$ $P(B\mid \overline{A})=0.35$ $P(B)=P(B\mid A)P(A)+P(B\mid \overline{A})P(\overline{A})$ $P(B)=0.85\times 0.07+ 0.35\times 0.93$ 2. $P(A\mid B)=\dfrac{P(AB)}{P(B)}= \dfrac{P(B\mid A)P(A)}{P(B)}$ >[!important] 注意 > > 灵活处理！也不要过于纠结原因和结果，只要明确事件，转化题目的意义即可,灵活地应用公式解决