满列秩

定义

Full Column Rank 满列秩指一个 $m\times n$ 矩阵 $A$ 的秩达到列数：

$$r=\mathrm{rank}(A)=n.$$

这意味着每一列都是主元列，列向量线性无关，$n\le m$。用行最简阶梯形矩阵表示时，若主元列排在前面，典型形态是

$$R=\left[\begin{array}{c}I\\ 0\end{array}\right],$$

其中 $I$ 是 $n\times n$ 单位矩阵，下面有 $m-n$ 个零行。

等价刻画

满列秩可以从几种角度同时识别：

• 每一列都是主元列，没有非主元列。
• 没有自由变量，因为变量数 $n$ 等于主元数 $r$。
• 零空间只有零向量：

$$N(A)=\{0\}.$$

• 齐次方程 $Ax=0$ 只有零解。
• 若 $Ax=b$ 可解，则解唯一。

这些条件说的是同一件事：没有非零方向能在经过 $A$ 后变成零。因此一旦两个解 $x_1,x_2$ 都满足 $Ax=b$，差 $x_1-x_2$ 必在 $N(A)$ 中，只能等于零，所以 $x_1=x_2$。

对非齐次方程的影响

满列秩不保证 $Ax=b$ 对所有 $b$ 都有解。若 $m>n$，列空间 $C(A)$ 是 ${\mathbb{R}}^m$ 中的一个 $n$ 维子空间，很多右端项不在列空间内。此时

$$Ax=b$$

的解数只能是 $0$ 或 $1$：

• 若 $b\notin C(A)$，则无解。
• 若 $b\in C(A)$，则有唯一解。

这就是“满列秩给唯一性，不给总可解性”。它排除了无穷多解，因为无穷多解需要非零零空间方向。

零行一致性条件

把右端项并入增广矩阵：

$$[Ab]⟶[Rd].$$

满列秩时 $R$ 的下方可能有 $m-n$ 个零行。为了相容，这些零行对应的 $d$ 分量必须全为零：

$$d_{n+1}=d_{n+2}=\cdots =d_m=0.$$

这些就是一致性条件。它们等价于 $b\in C(A)$。一旦这些条件成立，就没有自由变量，特解也是唯一解，通解退化为

$$x=x_p+0.$$

例如

$$A=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\\ -2& -3\end{array}\right],b=\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ b_3\end{array}\right].$$

消元得到最后一行条件

$$0=b_3+b_1+b_2.$$

所以 $Ax=b$ 可解当且仅当

$$b_1+b_2+b_3=0.$$

在该条件下没有自由变量，唯一解是

$$x=\left[\begin{array}{c}2b_1-b_2\\ b_2-b_1\end{array}\right].$$

若 $b_1+b_2+b_3\ne 0$，则无解。

与可逆矩阵的边界

若 $m=n$ 且 $r=n$，则满列秩同时也是满行秩，矩阵为可逆矩阵。这时 $R=I$，没有零行，也没有自由变量，对每个 $b$ 都有唯一解：

$$x=A^{-1}b.$$

若 $m>n$，矩阵是“高而窄”的过定系统。满列秩只保证列向量独立和解的唯一性；是否存在解仍要看右端项是否满足零行条件。

在四种秩情形中的位置

满列秩覆盖两种情形：

秩情形	解的结论	原因
$r=m=n$	每个 $b$ 恰有一个解	无零行条件，无自由变量
$r=n<m$	依 $b$ 而定，有 $0$ 或 $1$ 个解	有零行条件，无自由变量

与此相对，若 $r<n$，就存在自由变量和非零零空间方向；只要方程相容，就会有无穷多解。

相邻概念关系

满列秩连接的是唯一性问题。它与线性独立、主元、零空间和矩阵的秩直接相关；与列空间的关系则体现在存在性上：只有当 $b$ 落在列空间内，满列秩系统才有那个唯一解。和满行秩相比，满列秩关注“同一个右端项能不能由多种系数组合产生”，满行秩关注“每个右端项能不能被某种组合产生”。