Linear Equations
The central problem of linear algebra is to solve a system of equations
”线性代数的核心问题就是求解线性方程组”
一、线性方程组 Linear Equation
线性方程 <—> 向量方程 (向量的线性组合) <—> 矩阵方程
1. 线性方程 Linear Equation
n 个未知数，n 个方程联立为线性方程组
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{n}=b_{1} \\ \\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_{n}=b_{2} \\ \\ \cdots \\\\ a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots+a_{mn}x_{n}=b_{n} \end{cases}$$ #### 2. 向量方程 Vector Equation 将线性方程组改写为向量方程组的形式，本质上就是[[向量\|向量]]的**线性组合** **Linear Combination** $$\begin{align} \begin{pmatrix} a_{11} \\a_{21} \\\cdots \\a_{n1} \end{pmatrix}x_{1}+\begin{pmatrix} a_{12} \\a_{22} \\\cdots \\a_{n2} \end{pmatrix}x_{2}+\cdots+\begin{pmatrix} a_{1n} \\a_{2n} \\\cdots \\a_{nn} \end{pmatrix}x_{n}=\begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \cdots \\ b_{n} \end{pmatrix} \end{align}$$ #### 3. 矩阵方程 Matrix Equation 进一步写为矩阵方程，引出[[矩阵\|矩阵]]的概念 $$\begin{align} {\large A \vec{x} \; \large= \large\vec{b}}\quad \Leftrightarrow \quad \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12 } & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22 } & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m 1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \\ \vdots \\ \\ x_{n} \end{pmatrix}&=\begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{m} \end{pmatrix} \\ \\ \end{align}$$ $A$ 即为线性方程组的**系数矩阵** **Coefficient matrix** ### 二、求解线性方程组 [[高斯消元\|高斯消元]] [[克拉默法则\|克拉默法则]] [[线性方程组的解\|线性方程组的解]] --- ## AI 结构化补充（2026-05-02） **Linear System** ### Definition 线性方程组是若干个未知量只以一次形式出现的方程同时成立。一般地，$m$ 个方程、$n$ 个未知量可以写成\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1,\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2,\ \quad\vdots\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n=b_m. \end{cases}
把系数排成 $m\times n$ 矩阵 $A$，把未知量排成 $x=(x_1,\dots,x_n)^T$，把右端排成 $b=(b_1,\dots,b_m)^T$，就得到同一个问题的[[矩阵形式\|矩阵形式]]Ax=b.
### Column View 若A=[a_1\ a_2\ \cdots\ a_n],
其中 $a_j$ 是 $A$ 的第 $j$ 列，则Ax=x_1a_1+x_2a_2+\cdots+x_na_n.
所以求解 $Ax=b$，从[[列图像\|列图像]]看，就是寻找一组系数 $x_1,\dots,x_n$，使 $A$ 的列向量按这组系数做[[线性组合\|线性组合]]后正好得到 $b$。换句话说，$b$ 必须落在 $A$ 的[[列空间\|列空间]]中；如果 $b$ 不在列空间里，方程组就无解。 ### Row View 若 $r_i$ 是 $A$ 的第 $i$ 行，则 $Ax$ 的第 $i$ 个分量是(Ax)i=r_i\cdot x=a{i1}x_1+\cdots+a_{in}x_n.
从[[行图像\|行图像]]看，每一行方程 $r_i\cdot x=b_i$ 都是一条约束：在二维中常表现为直线，在三维中常表现为平面，在高维中表现为超平面。线性方程组的解集就是这些约束的交集。 ### Second-Chapter Geometry 在第一章差分矩阵的基础上，第二章视角把同一个 $Ax=b$ 同时看成几何交点和列向量生成问题。 二维中，两条线性方程通常给出两条直线。若两条直线不平行，它们交于一个点，这个点的坐标就是方程组的唯一解；若两条直线平行且不同，则没有共同点；若两条直线重合，则整条直线上的点都是解。 三维中，一条方程通常给出一个平面。两个平面通常交成一条直线，第三个平面再切这条直线时得到一个点。若第三个平面没有切到这条线，就无解；若第三个平面包含这条线，就有无穷多个解。 列图像给出同一件事的另一种语言。把A=[a_1\ a_2\ \cdots\ a_n]
写成列向量后，右端 $b$ 必须由这些列向量组合出来：x_1a_1+x_2a_2+\cdots+x_na_n=b.
因此“有解”先意味着 $b$ 能被列组合产生；“唯一”还要求产生 $b$ 的组合系数只有一组；“无穷多解”意味着至少两组不同系数产生同一个 $b$，也就是某个非零方向 $z$ 满足 $Az=0$。 ### Matrix Equation Readings 矩阵方程 $Ax=b$ 至少有三种读法： - 行读法：$A$ 的每一行与 $x$ 做点积，得到一个方程 $r_i\cdot x=b_i$。这里看的是方程约束的共同交集。 - 列读法：$Ax$ 是 $A$ 的列向量按 $x_1,\dots,x_n$ 加权后的线性组合。这里看的是右端 $b$ 是否落在列向量生成的范围内。 - 映射读法：$A$ 是把输入 $x$ 送到输出 $b$ 的线性动作。已知 $x$ 算 $b=Ax$ 是正向计算；已知 $b$ 求 $Ax=b$ 是逆向求解。 ### Three Solution Types 线性方程组只有三种基本解型： - 唯一解：行图像中，二维直线或三维平面最终只交于一个点；列图像中，$b$ 在 $A$ 的[[列空间\|列空间]]内，而且表示 $b$ 的列组合系数唯一。方阵情形中，这对应[[可逆矩阵\|可逆矩阵]]，也对应列向量[[线性独立\|线性独立]]且填满整个目标空间。 - 无解：行图像中，所有约束没有共同交点，例如两条平行不同的直线，或三个平面不能同时相交；列图像中，$b$ 不在列空间中，任何列组合都到不了这个右端。 - 无穷多解：行图像中，约束交成一条直线、一个平面或更高维集合；列图像中，$b$ 可以被产生，但产生它的系数不唯一。此时[[零空间\|零空间]]中存在非零向量，方阵情形中对应[[奇异矩阵\|奇异矩阵]]和列向量[[线性相关\|线性相关]]。 ### Same System in Row and Column Views 以\begin{cases} 2x-y=0,\ -x+2y=3 \end{cases}
\begin{bmatrix} 2&-1\ -1&2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\y \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 0\3 \end{bmatrix}.
行图像看两条直线：第一条是 $y=2x$，第二条是 $2y=x+3$。把 $y=2x$ 代入第二条得到 $3x=3$，所以交点是 $(1,2)$。这个交点同时满足两条约束，因此就是方程组的解。 列图像看同一个右端怎样由两列生成：x\begin{bmatrix}2\-1\end{bmatrix} y\begin{bmatrix}-1\2\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}0\3\end{bmatrix}.
解 $(x,y)=(1,2)$ 的意思是1\begin{bmatrix}2\-1\end{bmatrix} +2\begin{bmatrix}-1\2\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}0\3\end{bmatrix}.
同一组数字在行图像中是交点坐标，在列图像中是列向量的组合系数。 ### Two-Column Example 第一章早期的例子把方程组直接看成列向量组合。设v=\begin{bmatrix}2\-1\end{bmatrix},\qquad w=\begin{bmatrix}-1\2\end{bmatrix},\qquad b=\begin{bmatrix}1\0\end{bmatrix}.
求 $cv+dw=b$ 就是求c\begin{bmatrix}2\-1\end{bmatrix} +d\begin{bmatrix}-1\2\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}1\0\end{bmatrix},
\begin{cases} 2c-d=1,\ -c+2d=0. \end{cases}
由第二个方程 $c=2d$，代入第一个方程得到 $3d=1$，所以d=\frac13,\qquad c=\frac23.
列图像说：$b$ 是 $v$ 和 $w$ 的组合，组合系数是 $c=2/3,d=1/3$。行图像说：两条直线 $2c-d=1$ 与 $-c+2d=0$ 的交点给出同一个解。 ### Difference-Matrix Example 第一章的[[差分矩阵\|差分矩阵]]把 $Ax=b$ 解释得很清楚：A= \begin{bmatrix} 1&0&0\ -1&1&0\ 0&-1&1 \end{bmatrix}, \qquad Ax= \begin{bmatrix} x_1\ x_2-x_1\ x_3-x_2 \end{bmatrix} =b.
这里从列看，$b$ 是三列的线性组合；从行看，三行分别规定 $x_1=b_1$、$x_2-x_1=b_2$、$x_3-x_2=b_3$。任意 $b$ 都能由累加恢复x_1=b_1,\qquad x_2=b_1+b_2,\qquad x_3=b_1+b_2+b_3.