克拉默法则

Cramer’s Rule

是线性代数中一个关于求解线性方程组的基本定理，适用于求解变量和方程数目相等的线性方程组。 对于多于两个或三个方程的系统，在计算上非常低效，它的意义主要在于它给出了方程组解与系数的明显关系。

假设线性方程组表示为：

a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{n}=b_{1} \\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_{n}=b_{2} \\ \cdots\cdots \\ a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots+a_{mn}x_{n}=b_{n} \end{cases}$$ $$\begin{align} \boldsymbol{x}&= \begin{pmatrix} x_{1} & x_{2} & \cdots & x_{n} \end{pmatrix}^{T} \\ \boldsymbol{b}&= \begin{pmatrix} b_{1} & b_{2} & \cdots & b_{n} \end{pmatrix}^{T} \\ \end{align}$$ 系统矩阵的行列式为： $$\begin{align} \left\lvert A \right\rvert=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12 } & \cdots& a_{2i}& \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22 } & \cdots & a_{2i}& \cdots& a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots& \ddots & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n2} & \cdots & a_{2i}& \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} \end{align}$$ 将解向量替换对应列得到的矩阵的行列式为： $$\begin{align} \left\lvert A_{i} \right\rvert=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12 } & \cdots& b_{1}& \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22 } & \cdots & b_{2}& \cdots& a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots& \ddots & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n2} & \cdots & b_{n}& \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} \end{align}$$ 求方程组中的 $x_{i}$ 元素， 1. 将系数矩阵 $A$ 的第 $i$ 列换为解向量得到矩阵 $A_{i}$ 2. 计算 $A$ 和 $A_{i}$ 的行列式，得到 $x_{i}$ 也即： $$\begin{align} x_{i}=\dfrac{\left\lvert A_{i} \right\rvert}{\left\lvert A \right\rvert} =\dfrac{\begin{vmatrix} a_{11} & \cdots& b_{1}& \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & \cdots & b_{2}& \cdots& a_{2n} \\ \vdots & \ddots & \vdots& \ddots & \vdots \\ a_{n 1} & \cdots & b_{n}& \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} }{\begin{vmatrix} a_{11} & \cdots& a_{2i}& \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & \cdots & a_{2i}& \cdots& a_{2n} \\ \vdots & \ddots & \vdots& \ddots & \vdots \\ a_{n 1} & \cdots & a_{2i}& \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} } \end{align}

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AI 结构化补充（2026-05-02）

Cramer’s Rule

定义

克拉默法则是用行列式显式求解方阵线性方程组的方法。设

$$Ax=b,A=[a_1{a}_2\cdots a_n]\in {\mathbb{F}}^{n\times n},$$

其中 $a_j$ 是 $A$ 的第 $j$ 列。若 $\det A\ne 0$，令

$$B_j=[a_1\cdots a_{j-1}b{a}_{j+1}\cdots a_n],$$

即把 $A$ 的第 $j$ 列替换为右端向量 $b$ 后得到的矩阵，则唯一解 $x=(x_1,\dots ,x_n{)}^T$ 满足

$$x_j=\frac{\det B_j}{\det A},j=1,\dots ,n.$$

这个公式只适用于方程数与未知数相等、且系数矩阵可逆的情形。若 $\det A=0$，分母为零，方程组可能无解或有无穷多解，不能用克拉默法则直接求解。

推导

核心想法是把 $x$ 放入单位矩阵的一列，再利用行列式的乘法公式。先看第一列：把 $I$ 的第一列替换为 $x$，所得矩阵的行列式就是 $x_1$。左乘 $A$ 后，第一列变成

$$Ax=b,$$

其余列仍是 $A$ 的对应列，因此

$$A\left(\begin{array}{cccc}{x}_1& 0& \cdots & 0\\ x_2& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ x_n& 0& \cdots & 1\end{array}\right)=[b{a}_2\cdots a_n]=B_1.$$

两边取行列式：

$$(\det A)x_1=\det B_1,x_1=\frac{\det B_1}{\det A}.$$

把同样的替换放在第 $j$ 列，就得到一般公式 $x_j=\det B_j/\det A$。

例子

求解

$$\{\begin{array}{l}3x_1+4x_2=2,\\ 5x_1+6x_2=4.\end{array}$$

这里

$$A=\left(\begin{array}{cc}3& 4\\ 5& 6\end{array}\right),b=\left(\begin{array}{c}2\\ 4\end{array}\right).$$

三个行列式分别是

$$\det A=\left|\begin{array}{cc}3& 4\\ 5& 6\end{array}\right|=18-20=-2,$$ $$\det B_1=\left|\begin{array}{cc}2& 4\\ 4& 6\end{array}\right|=12-16=-4,\det B_2=\left|\begin{array}{cc}3& 2\\ 5& 4\end{array}\right|=12-10=2.$$

也就是 $\det A=-2$，$\det B_1=-4$，$\det B_2=2$。

因此

$$x_1=\frac{-4}{-2}=2,x_2=\frac{2}{-2}=-1.$$

直接检验：

$$\left(\begin{array}{cc}3& 4\\ 5& 6\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}2\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 4\end{array}\right).$$

性质

克拉默法则把解的每个坐标写成两个行列式的比值。分母 $\det A$ 衡量原列组形成的有向体积是否非零；分子 $\det B_j$ 则把第 $j$ 个方向换成右端 $b$ 后重新测量这个有向体积。

它还解释了逆矩阵的余子式公式的来源。若要求 $A^{-1}$，就是同时求解

$$A{x}_1=e_1,A{x}_2=e_2,\cdots ,A{x}_n=e_n.$$

当右端是单位矩阵的某一列时，克拉默法则分子中的列替换行列式会退化为 $A$ 的代数余子式。这就是逆矩阵元素最终由余子式给出的原因。

计算边界

对 $n\times n$ 系统，克拉默法则需要计算 $n+1$ 个行列式：一个 $\det A$ 和 $n$ 个 $\det B_j$。若每个行列式都按排列“大公式”展开，每个有 $n!$ 项，总项数达到

$$(n+1)n!=(n+1)!.$$

因此它不是大型数值线性方程组的高效算法。实际数值求解通常使用消元、分解或迭代方法；克拉默法则的价值主要在于低阶手算、显式符号公式和理论证明。

理论位置

克拉默法则位于线性方程组、行列式与逆矩阵之间：它从 $Ax=b$ 出发，用列替换行列式表达 $x=A^{-1}b$ 的各个分量。它依赖 $\det A\ne 0$，所以也直接服务于可逆矩阵与奇异矩阵的分界。