柯西积分公式的推广
由柯西积分公式知道：
& f(z_{0})= \dfrac{1}{2\pi i} \oint_{C} \dfrac{f(z)}{z-z_{0}}dz \\ & \oint_{C} \dfrac{f(z)}{z-z_{0}}dz=2\pi i \cdot f(z_{0}) \end{align}$$ **==高阶导数公式==**： $C$ 为在函数 $f(z)$ 的解析区域 $D$ 内围绕 $z_{0}$ 的任何一条正向简单闭曲线，且它的内部全含于 $D$，它的 $n$ 阶导数为： $$\begin{align} & f^{(n)}(z_{0})= \dfrac{n!}{2\pi i}\oint_{C} \dfrac{f(z)}{(z-z_{0})^{(n+1)}}\,dz \\ & \oint_{C} \dfrac{f(z)}{(z-z_{0})^{(n+1)}}\,dz= \dfrac{2\pi i}{n!}f^{(n)}(z_{0}) \end{align}$$ 实际应用一般是通过**求导数算积分** >[!important] 意义 > >与实变函数的**重要区别**：函数 $f(z)$ 只要在闭区域内处处可微，它就一定无限次可微，并且各阶导数均为闭区域上的解析函数 > >重要结论：**[[解析\|解析函数]]的导数仍为解析函数** （也即: 一个函数如果为解析函数，则有无限次导数的连续性）