角动量

力学中最重要的概念之一

一、角动量

一个动量为 $\mathbf{p}$ 的质点，对惯性参考系中某一固定点 $O$ 的角动量 $\mathbf{L}$ 使用矢量积定义为：

\boldsymbol{L}&=\boldsymbol{r}\times \boldsymbol{p}=\boldsymbol{r}\times m\boldsymbol{v} \\ \\ L&= \left\lvert \boldsymbol{L} \right\rvert = rp \sin\varphi=mrv \sin\varphi \end{align}$$ $\boldsymbol{L}$ 的方向垂直于 $\boldsymbol{r}$ 和 $\boldsymbol{p}$ 所决定的平面，指向使用右手螺旋法则确定（即矢量积的方向，右手四指从 $\boldsymbol{r}$ 经过小于 180°角转向 $\boldsymbol{p}$ ，则拇指指向为 $\boldsymbol{L}$ 的方向  ### 二、角动量定理 **角动量** $\boldsymbol{L}$ 对**时间的变化率**表达如下，将最终的结果定义为**力矩**$\boldsymbol{M}$： $$\begin{align} \dfrac{\mathrm{d} \boldsymbol{L}}{\mathrm{d} t} = \boldsymbol{r}\times \dfrac{\mathrm{d} \boldsymbol{p}}{\mathrm{d} t}+\boldsymbol{p}\times \dfrac{\mathrm{d} \boldsymbol{r}}{\mathrm{d} t} =\boldsymbol{r}\times \boldsymbol{F} =\boldsymbol{M} \end{align}$$ - $\dfrac{\mathrm{d} \boldsymbol{r}}{\mathrm{d} t}=\boldsymbol{v},\boldsymbol{p}=m\boldsymbol{v}$ 所以 $\boldsymbol{p}\times \dfrac{\mathrm{d} \boldsymbol{r}}{\mathrm{d} t}=0$ - 由[[力\|力]]知道：$\dfrac{\mathrm{d} \boldsymbol{p}}{\mathrm{d} t}=\boldsymbol{F}$ 物体的**动量**对**时间的变化率**与所加的外**力**成正比 力矩：力对一个支点的力矩大小等于此力和力臂的乘积，力臂为从支点到力的作用线的垂直距离  ### 三、角动量守恒 对于某一固定点，质点所受的合外力矩为零，则此质点对该固定点的角动量矢量保持不变 [[开普勒定律\|开普勒第二定律]]