极坐标图/幅相曲线图/Nyquist图
G(j\omega )&=|G(j\omega )|e^{ j \angle G(j\omega ) }=P(\omega ) +jQ(\omega ) \end{align}$$ $\omega: 0\to \infty$ $G(j\omega)$ 在复平面上的轨迹,也即 $P(\omega),Q(\omega)$ 变化的曲线 一般只画 $0\to +\infty$ 的部分（$0\to -\infty$ 只需要以实轴为对称轴翻折即可） ### 基本的画法 一般是对开环传递函数绘制[[传递函数#2. 尾 1 标准型\|传递函数的尾1形式]]： $$\begin{align} G(s)&=\dfrac{K\prod\limits_{i=1}^{m}(\tau_{i}s+1)}{s^{v}\prod\limits_{i=1}^{n-v}(T_{i}s+1)} \\ G(j\omega )&=\dfrac{K\prod\limits_{i=1}^{m}(j\tau_{i}\omega +1)}{(j\omega )^{v}\prod\limits_{i=1}^{n-v}(jT_{i}\omega +1)} \end{align}$$ **同时计算**： 将 $G(j\omega)$ 化为 $P(\omega ) +jQ(\omega )$ 的形式 $P(\omega)\quad Q(\omega)\quad |G(j\omega)|\quad \angle G(j\omega)$ $A(\omega)=|G(j\omega)|$ $\phi(\omega)=|G(j\omega)|$ #### 相位的范围 相位范围不等号的方向变为一致 分子对应的范围：\left[0;,; \sum\limits_{i=1}^{m}\arctan \tau_{i}\omega\right]
分母对应的范围： $$\left[ -90^{\circ}\times v-\sum\limits_{i=1}^{n-v}\arctan T_{i}\omega\;, \; -90^{\circ}\times v\right]$$ 可能出现的范围：\left[ -90^{\circ}\times v-\sum\limits_{i=1}^{n-v}\arctan T_{i}\omega;, ; -90^{\circ}\times v+\sum\limits_{i=1}^{m}\arctan \tau_{i}\omega\right]
#### 1. 绘制起点和终点 注意渐近线和始末的辐角 - $\omega \to 0^{+}$：$P(0^{+})\quad Q(0^{+})\quad |G(0^{+})|\quad \angle G(0^{+})$ - $\omega \to +\infty$：$P(+\infty)\quad Q(+\infty)\quad |G(+\infty)|\quad \angle G(+\infty)$ #### 2. 与实虚轴的交点 **确定实际的相位范围** - $Q(\omega)=0$ 计算与实轴交点 - $P(\omega)=0$ 计算与虚轴交点 #### 3.注意二阶振荡环节 如果阻尼比为 0，可能会出现极限频率问题，会产生分支，不连续的点：相角的不连续带来幅值的不连续，关注使得分母为 0 的 $\omega$，要讨论左右极限 $P(\omega^{-})\quad Q(\omega^{-})\quad |G(\omega^{-})|\quad \angle G(\omega^{-})$ $P(\omega^{+})\quad Q(\omega^{+})\quad |G(\omega^{+})|\quad \angle G(\omega^{+})$ 自然震荡频率的极限问题：通过对幅值 $\left\lvert G(j\omega) \right\rvert$ 求导，得到幅值和对应的角频率 谐振频率、谐振峰值 ### Nyquist 曲线的增补 #### 起始点 从 $G(0^{+})$ 逆时针开始补画 $v\times 90^{\circ}$ ，半径为 $\infty$ 的顺时针圆弧 >[!tip] 注意 > >从逆时针补画的原因只是不存在实际的 $G(0)$ >从 $G(0^{+})$ 开始画比较方便 >最后的圆弧还是顺时针的 #### 不连续的点 $\omega_{n}$ 从 $G(j\omega_{n}^{-})$ 以半径为无穷大顺时针作 $v\times 180^{\circ}$ 的圆弧至 $G(j\omega_{n}^{+})$