Deadbeat Response 最少调节时间/暂态过程时间最少系统
在经典输入信号作用下，系统可经过最小拍使输出响应的稳态误差为零。（某种特定的输入在最少个采样周期内达到无静差的稳态） 实现时间最优控制
一、最小拍系统的具体要求
- 无静差：特定参考输入信号，在达到稳态后，在采样点的输出值准确跟随输入信号，不存在静差
- 最小拍：在有限拍内达到稳态，准确跟随输入信号所需的采样周期最少
- 可实现：必须在物理上可实现
- 稳定：闭环系统必须稳定
二、最小拍控制控制器的设计
广义对象传递函数：
G(z)=\mathscr{Z}[G_{h}(s)G_{0}(s)]=G_{h}G_{0}(z)=(1-z^{-1}) \mathscr{Z}[ \dfrac{G_{0}(s)}{s}] \end{align}$$ > [!important] > > 注意要写为标准型，便于观察是否存在单位圆外的零极点，例如： > $$\begin{align} > G(z)=\dfrac{z^{-1}(a+z^{-1})}{(b+cz^{-1})}=\dfrac{a}{b} \dfrac{z^{-1}(1+ \dfrac{1}{a}z^{-1})}{(1+ \dfrac{c}{b}z^{-1})} > \end{align}$$ #### 1. 输入信号的类型（基础） > 根据输入信号的类型，在**误差传递函数**上消除误差 输入信号的一般形式及稳态误差： $$\begin{align} r(t)=t^ {{\color{red} n-1}} \; {\color{red}\Rightarrow} \;\quad R(z)= \dfrac{A(z)}{ {\color{red} (1-z^{-1})^{n} } }\quad \;e(\infty)= \lim\limits_{ z \to 1 } (1-z^{-1})R(z)\varPhi_{e}(z) =0 \end{align}$$ 满足稳态误差为零且最小拍的误差传递函数： $$\begin{align} \varPhi_{e}(z)= \dfrac{E(z)}{R(z)} = {\color{red} (1-z^{-1})^{n} } \\ \end{align}$$ 得到期望的闭环传递函数： $$\begin{align} \varPhi(z)=\dfrac{Y(z)}{R(z)}=1-\varPhi_{e}(z)= 1- (1-z^{-1})^{n} ={\color{red} {m}_{1} z^{-1}+ {m}_{2} z^{-2}+ \cdots + {m}_{n}z^{-n} } \end{align}$$ 进一步得到数字控制器： $$\begin{align} D(z)= \dfrac{U(z)}{E(z)} = \dfrac{\varPhi(z)}{G(z)\varPhi_{e}(z)} =\dfrac{1-(1-z^{-1})^{m}}{G(z)(1-z^{-1})^{m}} \end{align}$$ $$\begin{cases} R(z)= \dfrac{A(z)}{ {\color{Red}(1-z^{-1})^{N}}}\quad {\Rightarrow} \quad \varPhi_{e}(z)= {\color{Red}(1-z^{-1})^{N}}\\ \\ G(z) \quad {\Rightarrow} \quad \varPhi(z)= {\color{Red} {m}_{1} z^{-1}+ {m}_{2} z^{-2}+ \cdots + {m}_{N}z^{-N}} \end{cases}$$ | 输入信号 | 误差传递函数 | 闭环传递函数 | | ------------------------- | ---------------- | ------------------------ | | 单位阶跃 $1(t)$ | $1-z^{-1}$ | $z^{-1}$ | | 单位速度 $t$ | $(1-z^{-1})^{2}$ | $2z^{-1}-z^{-2}$ | | 单位加速度 $\dfrac{1}{2}t^{2}$ | $(1-z^{-1})^{3}$ | $3z^{-1}-3z^{-2}+z^{-3}$ | #### 2. 对象存在纯滞后 > 如果对象存在纯滞后，需要在**闭环传递函数**上将纯滞后消除 $$\begin{align} D(z)= \dfrac{1}{ G(z)z^{-({\color{#c44f70}M}+1)}} \dfrac{\varPhi(z) {\color{#c44f70}z^{-M}}}{\varPhi_{e}'(z)} \end{align}$$ $$\begin{cases} R(z)= \dfrac{A(z)}{ {\color{Red}(1-z^{-1})^{N}}}\quad & {\Rightarrow} \quad \varPhi_{e}'(z)= {\color{Red}(1-z^{-1})^{N}} {\color{#c44f70} (1+f_{1}z^{-1}+f_{2}z^{-2}+\cdots+ f_{M}z^{-M}) } \\ \\ \quad \quad G(z) {z^{-({\color{#c44f70}M}+1)}} \quad & {\Rightarrow} \quad \varPhi'(z)={\color{#c44f70}z^{-M}} ( {\color{Red} {m}_{1} z^{-1}+ {m}_{2} z^{-2}+ \cdots +{m}_{N}^{-N}}) \end{cases}$$ > 注意广义对象由于串联零阶保持器，带 $z^{-1}$ 一个纯滞后，这个纯滞后是不计算在对象的纯滞后上的。一般如果对象表示为 $G(z)z^{-(M+1)}$，则表示有 $M$ 个纯滞后 #### 3. 对象存在单位圆外零点 > 对象单位圆外零点在**闭环传递函数**消除 $$\begin{align} D(z)= \dfrac{1}{G(z)\cdot{\color{#c44f70}\prod\limits_{i=1}^{q}(1-b_{i}z^{-1})} } \dfrac{\varPhi(z)\cdot {\color{#c44f70}\prod\limits_{i=1}^{q}(1-b_{i}z^{-1})} }{\varPhi_{e}'(z)} \end{align}$$ $$\begin{cases} R(z)= \dfrac{A(z)}{ {\color{Red}(1-z^{-1})^{N}}}\quad & {\Rightarrow} \quad \varPhi_{e}(z)= {\color{Red}(1-z^{-1})^{N}} ({\color{#c44f70}1+ f_{1} z^{-1}+f_{2} z^{-2} \cdots + f_{q}z^{-q} }) \\ \\ G(z) \cdot {\color{#c44f70}\prod\limits_{i=1}^{q}(1-b_{i}z^{-1})} \quad & {\Rightarrow} \quad \varPhi(z)={\color{#c44f70}\prod\limits_{i=1}^{q}(1-b_{i}z^{-1})} ({\color{Red} {m}_{1} z^{-1}+ {m}_{2} z^{-2}+ \cdots + {m}_{N}^{-N}}) \end{cases}$$ #### 4. 对象存在单位圆外极点 > 对象单位圆外极点在**误差传递函数**消除 $$\begin{align} D(z)= \dfrac{{\color{#c44f70}\prod\limits_{i=1}^{p}(1-a_{i}z^{-1})}}{G(z) } \dfrac{\varPhi'(z) }{\varPhi_{e}(z)\cdot {\color{#c44f70}\prod\limits_{i=1}^{p}(1-a_{i}z^{-1}) }} \end{align}$$ $$\begin{cases} R(z)= \dfrac{A(z)}{ {\color{Red}(1-z^{-1})^{N}}}\quad & {\Rightarrow} \quad \varPhi_{e}(z)= {\color{Red}(1-z^{-1})^{N}} {\color{#c44f70}\prod\limits_{i=1}^{p}(1-a_{i}z^{-1})} \\ \\ \quad \quad \dfrac{G(z)}{{\color{#c44f70}\prod\limits_{i=1}^{p}(1-a_{i}z^{-1})} } \quad & {\Rightarrow} \quad \varPhi(z)= ( {\color{Red}{m}_{1} z^{-1}+ {m}_{2} z^{-2}+ \cdots +{m}_{N}^{-N}}{\color{#c44f70}+\cdots+m_{N+p}z^{-(N+p)}}) \end{cases}$$ #### 5. 对象存在单位圆上极点 (1,0) 单位圆上极点$(1,0)$个数为$k$, 则 $\varPhi_{e}(z)$ 中 $(1-z^{-1})$ 的最高次数只需要取输入的次数和单位圆上极点个数的最大值 $max(k,N)$ ### 三、全部情况综合以及实际例题 综合所有情况，保证 $z^{-1}$ 的最高次数相等 $\varPhi_{e}(z)=1-\varPhi(z)$ 1. 输入信号的类型 2. 对象的纯延迟 3. 单位圆外的零点 4. 单位圆外的极点 5. 单位圆上极点(1,0) 实际例题： $$\begin{align} G(z)=\dfrac{(1+0.5z^{-1})(1+1.5z^{-1})z^{-8}}{(1-0.5z^{-1})(1-1.5z^{-1})(1-z^{-1})}\quad r(t)=\dfrac{1}{a}t^{11} \end{align}$$ $$\begin{cases} \;\varPhi_{e} (z) & = (1-z^{-1})^{12} (1-1.5z^{-1}){\color{red} (1+f_{1}z^{-1}+\cdots+f_{8} z^{-8})} \\ \\ \;\;\varPhi(z) & =z^{-7}(1+1.5z^{-1}){\color{#c44f70} (m_{1}z^{-1}+\cdots+m_{13}z^{-13}) } \end{cases}$$ > 把 **已知条件** 放到前面 > 求出闭环传递函数时，不要急着拆开化简 > 零阶保持器的广义对象会带 $z^{-1}$，不要看作为延迟，$z^{-N-1}$ 看作 $N$ 个延迟 > 注意计算：单位圆内外的判断！ > $1-1.59z^{-1}\; {\color{red}\Rightarrow} \; z=1.59$ 在单位圆外 > $1.59-z^{-1}\; {\color{red}\Rightarrow} \; z= \dfrac{1}{1.59}$ 在单位圆内 ### 四、最小拍控制器的局限性 1. **不同输入信号适应性较差**：最少拍控制器中的最少拍是针对某一典型输入设计的，对于其它典型输入则不一定为最少拍，甚至引起大的超调和静差 2. **对参数变化过于敏感**：如果系统参数发生变化，将使实际系统控制严重偏离期望状态 3. **控制作用容易超过范围**：设计时，对控制量未作限制 4. 在采样点之间存在波纹（对象单位圆内零点）：只能保证在采样点上的稳态误差为零，在许多情况下，系统在采样点之间的输出出现波纹，增加了执行机构的功率损耗和机械磨损 ### 五、最小拍控制器的改进 [[最小拍控制器的改进\|最小拍控制器的改进]]