Pole Configuration System Stabilization
控制系统的性能主要取决于系统极点在根平面上的分布，给定一组极点或根据时域指标转换为一组等价的期望极点，作为综合系统性能指标的一种形式。
极点实际上只取决于系统矩阵，而经过反馈，可以改变系统矩阵
核心就是设计反馈矩阵，使得反馈后的特征多项式等于期望极点系统对应的多项式。
- 如果维数较低，可以直接比较特征多项式，而无需化为标准型；
- 如果系统直接写为标准型，则也可直接得到反馈增益矩阵
一、极点配置
1. 采用状态反馈
采用状态反馈对系统任意配置极点的充分必要条件为系统完全能控
- 首先要进行能控性判别
- 将系统进行线性变换 Tc1 转化为能控标准型
- 设出线性变换后的状态反馈增益矩阵 Kˉ=Tc1K=(kˉ0kˉ1⋯kˉn−1)
\mathbf{u}=K \mathbf{x} +\mathbf{v} \quad \dot{\mathbf{x}}=A\mathbf{x}+ B(\mathbf{v}+K\mathbf{x})=({\color{red} A+BK})\mathbf{x}+B\mathbf{v}
\end{align}$$
原系统：
$$\begin{align}
\det \left[ \lambda I-A\right] =f(\lambda)= \prod\limits_{i=1}^{n}(\lambda-\lambda_{i})=\lambda^{n}+a_{n-1}\lambda^{n-1}+\cdots +a_{1}\lambda+a_{0}
\end{align}$$
期望极点系统：
$$\begin{align}
f^{*}(\lambda)= \prod\limits_{i=1}^{n}(\lambda-\lambda_{i}^{*})=\lambda^{n}+a_{n-1}^{*}\lambda^{n-1}+\cdots +a_{1}^{*}\lambda+a_{0}^{*}
\end{align}$$
设计**线性变换后**的反馈矩阵 $\bar{K}$ 系统：
$$\begin{align}
\det \left[ \lambda I-({\color{red} A+BK})\right]= \prod\limits_{i=1}^{n}(\lambda-\lambda_{i}^{*})=\lambda^{n}+(a_{n-1}-\bar{k}_{n-1})\lambda^{n-1}+\cdots +(a_{1}-\bar{k}_{1})\lambda+(a_{0}-\bar{k}_{0})
\end{align}$$
$$\begin{align}
T_{c_{1}}={\color{red}\begin{pmatrix}
A^{n-1}\mathbf{b} & A^{n-2}\mathbf{b} & \cdots & A\mathbf{b} & \mathbf{b}
\end{pmatrix} }\begin{pmatrix}
1 \\
a_{n-1} & 1 \\
\vdots & \vdots & \ddots \\
a_{2} & a_{3} & \cdots & 1 \\
a_{1} & a_{2} & \cdots & a_{n-1} & 1
\end{pmatrix}
\end{align}$$
$$\begin{align}
\bar{A} & =T_{c_{1}}^{-1}AT_{c_{1}}= \begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\
-a_{0} & -a_{1} & -a_{2} & \cdots & -a_{n-1}
\end{pmatrix} \\
\bar{\mathbf{b}} & =T_{c_{1}}^{-1}\mathbf{b}=\begin{pmatrix}
0 \\0 \\\vdots \\ 1
\end{pmatrix} \quad \bar{\mathbf{c}} =\mathbf{c} T_{c_{1}} =\begin{pmatrix}
\beta_{0},\beta_{1},\cdots,\beta_{n-1}
\end{pmatrix}
\end{align}$$
$$\begin{align}
\bar{A}+\bar{b}\bar{K}= \begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\
-a_{0}+\bar{k}_{0} & -a_{1}+\bar{k}_{1} & -a_{2}+\bar{k}_{2} & \cdots & -a_{n-1}+\bar{k}_{n-1}
\end{pmatrix}
\end{align}$$
$$\begin{align}
\bar{K}=\begin{pmatrix}
a_{0}-a_{0}^{*}\quad a_{1}-a_{1}^{*}\quad \cdots\quad a_{n-1}-a_{n-1}^{*}
\end{pmatrix}\quad K=\bar{K} T_{c_{1}}^{-1}
\end{align}$$
> [!important] 注意
>
> 如果维度较低，可以直接利用设计后系统的特征多项式和期望极点系统的特征多项式进行比较
#### 2. 采用从输出到状态变量导数的反馈
采用**输出到状态变量导数的反馈**对系统任意配置极点的充分必要条件为**系统完全能观**
$$\begin{align}
\dot{\mathbf{x}}=A\mathbf{x}+B\mathbf{u}+{\color{red}G\mathbf{y}}=A\mathbf{x}+B\mathbf{u}+GC\mathbf{x}\quad \dot{\mathbf{x}}=(A+{\color{red}GC})\mathbf{x}+B\mathbf{u}
\end{align}$$
原系统：
$$\begin{align}
\det \left[ \lambda I-A\right] =f(\lambda)= \prod\limits_{i=1}^{n}(\lambda-\lambda_{i})=\lambda^{n}+a_{n-1}\lambda^{n-1}+\cdots +a_{1}\lambda+a_{0}
\end{align}$$
期望极点系统：
$$\begin{align}
\det \left[ \lambda I-(A+GC)\right] =f^{*}(\lambda)= \prod\limits_{i=1}^{n}(\lambda-\lambda_{i}^{*})=\lambda^{n}+a_{n-1}^{*}\lambda^{n-1}+\cdots +a_{1}^{*}\lambda+a_{0}^{*}
\end{align}$$
设计线性变换后的反馈矩阵 $\bar{G}$ 系统：
$$\begin{align}
\det \left[ \lambda I-(A+GC)\right] =f^{*}(\lambda)= \prod\limits_{i=1}^{n}(\lambda-\lambda_{i}^{*})=\lambda^{n}+(a_{n-1}-\bar{g}_{n-1})\lambda^{n-1}+\cdots +(a_{1}-\bar{g}_{1})\lambda+(a_{0}-\bar{g}_{0})
\end{align}$$
$$\begin{align}
\tilde{A} & =T_{o_{2}}^{-1}AT_{o_{2}}= \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & -a_{0} \\
1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & -a_{1} \\
0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & -a_{2} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & -a_{n-1}\\
\end{pmatrix} \\
\tilde{\mathbf{b}} & =T_{o_{2}}^{-1}\mathbf{b}=\begin{pmatrix}
\beta_{0}\\ \beta_{1}\\\vdots\\\beta_{n-1}
\end{pmatrix} \quad \tilde{\mathbf{c}} =\mathbf{c} T_{o_{2}} =\begin{pmatrix}
0 , 0 ,\cdots , 1
\end{pmatrix}
\end{align}$$
$$\begin{align}
\tilde{A}+\bar{G} \bar{C} &= \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & -a_{0}+\bar{g}_{0} \\
1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & -a_{1}+\bar{g}_{1} \\
0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & -a_{2} +\bar{g}_{2} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & -a_{n-1}+\bar{g}_{n-1}\\
\end{pmatrix}
\end{align}$$
$$\begin{align}
\bar{G}=\begin{pmatrix}
a_{0}-a_{0}^{*}\quad a_{1}-a_{1}^{*}\quad \cdots\quad a_{n-1}-a_{n-1}^{*}
\end{pmatrix}\quad G=T_{o_{2}}\bar{G}
\end{align}$$
#### ~~3. 采用输出反馈或动态补偿器（简略）~~
对于完全能控的单输入单输出系统，
1. **不能采用输出线性反馈**来实现闭环系统极点的任意配置。
2. 通过**动态补偿器输出反馈**的充要条件：系统完全能观，阶数为 $n-1$
### 二、系统镇定
系统镇定：对受控系统通过**反馈**使得**极点均具有负实部**，保证系统渐近稳定。（实际上是极点配置的特殊情况）
- 采用**状态反馈**能镇定的充分必要条件是**不能控子系统为渐近稳定或完全能控**。
- 采用**输出到状态变量的导数反馈**能镇定的充分必要条件是系统的**不能观子系统为渐近稳定系统或完全能观**。
- 采用**输出反馈**能镇定的充分必要条件是能控能观子系统是输出反馈能镇定的，其余系统是渐近稳定的。
### 实际例题
已知传递函数如下，设计状态反馈使得系统极点为 $-2,-1\pm j$
$$\begin{align}
W(s)=\dfrac{10}{s(s+1)(s+2)}
\end{align}$$
原系统特征多项式：$f(\lambda)=\lambda^{3}+3\lambda^{2}+2\lambda$
直接写为能控标准型：
$$\begin{align}
\dot{\mathbf{x}}=\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & -2 & -3
\end{pmatrix}\mathbf{x}+ \begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
1
\end{pmatrix}\mathbf{u}\quad \mathbf{y}=\begin{pmatrix}
10 & 0 & 0
\end{pmatrix} \mathbf{u}
\end{align}$$
设状态反馈矩阵 $K=\begin{pmatrix}k_{0}\quad k_{1}\quad k_{2}\end{pmatrix}$
引入状态反馈后特征多项式：
$$\begin{align}
f(\lambda)=\left\lvert \lambda I-(A+bK) \right\rvert =\lambda^{3}+(3-k_{2})\lambda^{2}+ (2-k_{1})\lambda+(-k_{0})
\end{align}$$
期望特征多项式：
$$\begin{align}
f^{*}(\lambda)=(\lambda+2)(\lambda+1-j)(\lambda+1+j)=\lambda^{3}+4\lambda^{2}+6\lambda+4
\end{align}$$
对比系数得到：$K=\begin{pmatrix}-4\quad -4 \quad -1\end{pmatrix}$
