根轨迹法基础

根轨迹/根迹：开环传函某一参数从零变到无穷时，闭环系统特征方程的根在s 平面上变化的轨迹

• 由开环传递函数绘出闭环根的轨迹
• 根据闭环极点的分布分析系统性

首1标准型：

G(s)&=\frac{b_{0}(s-z_{1})(s-z_{2})\cdots(s-z_{m})}{a_{0}(s-p_{1})(s-p_{2})\cdots(s-p_{n})} =K^{*}\frac{\prod\limits_{i=1}^{m}(s-z_{i}) }{\prod\limits_{j=1}^{n}(s-p_{j})} \end{align}$$ $$\begin{align} & G(s)=K_{G}^{*} \dfrac{\prod\limits_{i=1}^{f}(s-z_{i})}{\prod\limits_{i=1}^{q}(s-p_{i})} \\ & H(s)=K_{H}^{*} \dfrac{\prod\limits_{j=1}^{l}(s-z_{j})}{\prod\limits_{j=1}^{h}(s-p_{j})} \\ & G(s)H(s)=K_{G}^{*} K_{H}^{*}\dfrac{\prod\limits_{i=1}^{f}(s-z_{i})}{\prod\limits_{i=1}^{q}(s-p_{i})}\dfrac{\prod\limits_{j=1}^{l}(s-z_{j})}{\prod\limits_{j=1}^{h}(s-p_{j})} \\ \end{align}$$ $$\begin{align} & \Phi(s)=K_{G}^{*}(s) \dfrac{\prod\limits_{i=1}^{f}(s-z_{i})\prod\limits_{j=1}^{h}(s-p_{j})}{\prod\limits_{i=1}^{n}(s-p_{i})+K^{*}\prod\limits_{j=1}^{m}(s-z_{j})} \\ & f+l=m\quad q+h=n \end{align}$$ - **闭环系统根轨迹增益**等于**前向通路**根轨迹增益 - **闭环零点**由**前向通路**传递函数的**零点**和**反馈通路**传递函数的**极点**所组成 - 闭环系统**极点**，与开环系统零点/开环系统极点以及开环系统根轨迹增益有关 >[!important] 根轨迹法的基本任务： > >由已知的开环零、极点的分布及根轨迹增益，通过**图解**的方法找出**闭环极点** >（确定闭环极点后，确定闭环传递函数的形式。在已知闭环传递函数时，利用拉普拉斯逆变换求出闭环系统的时间响应） ### 根轨迹方程 **闭环特征方程**：$1+G(s)H(s)=0$ **根轨迹方程**：$G(s)H(s)=-1$ $$\begin{align} K^{*} \dfrac{\prod\limits_{j=1}^{m}(s-z_{j})}{\prod\limits_{i=1}^{n}(s-p_{i})}=-1 \end{align}$$ 1. **相角条件**：确定s平面上根轨迹的==充分必要条件==：根轨迹上的点满足相角条件，为**闭环传函的极点** $$\begin{align} & \sum\limits_{j=1}^{m}\angle(s-z_{j})-\sum\limits_{i=1}^{n}\angle(s-p_{i})=(2k+1)\pi \end{align}$$ 2. **模值条件**：确定s平面上各点的 $K^{*}$ 值时使用 $$\begin{align} & K^{*}= \dfrac{\prod\limits_{i=1}^{n}|s-p_{i}| }{\prod\limits_{j=1}^{m}|s-z_{j}|} \end{align}$$