超前校正

系统稳定性和动态性能

\dfrac{U_{2}(s)}{U_{1}(s)}&= \dfrac{R_{2}}{R_{1}\parallel \dfrac{1}{Cs}+R_{2}} \\ &=\dfrac{R_{2}+R_{1}R_{2}Cs}{R_{1}+R_{2}+R_{1}R_{2}Cs} \\ &=\dfrac{\dfrac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}} + \dfrac{R_{1}R_{2}C}{R_{1}+R_{2}}s}{1+\dfrac{R_{1}R_{2}C}{R_{1}+R_{2}}s} \\ &= \dfrac{\dfrac{1}{\alpha}+Ts}{1+Ts} \end{align}$$ $$\begin{align} \alpha G_{c}(s)&=\dfrac{1+\alpha Ts}{1+Ts}\quad \alpha>1 \end{align}$$ $$\begin{align} \alpha G_{c}(j\omega )&= \dfrac{1+\alpha Tj\omega }{1+Tj\omega } \end{align}$$ 为了**补偿增益的衰减**，需要**串联一个比例放大环节** $\alpha$ / 放大器增益需要提高 $\alpha$ 倍   ### 相关参数 **分度系数：**$\alpha=\dfrac{R_{1}+R_{2}}{R_{2}}\quad (\alpha>1)$ **时间常数：**$T= \dfrac{R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}C$ **转折频率：**$\omega_{1}=\dfrac{1}{\alpha T}$ $\omega_{2}=\dfrac{1}{T}$ - $0<\omega<\omega_{1}$ - $\omega_{1}<\omega<\omega_{2}$ - $\omega_{2}<\omega<+\infty$  **最大超前角频率:** $$\begin{align} \omega _{m}=\sqrt{ \dfrac{1}{\alpha T}\cdot \dfrac{1}{T} }= \dfrac{1}{T\sqrt{ \alpha }} \end{align}$$ **最大超前角:** $$\begin{align} \varphi_{m}=\arctan \dfrac{\alpha-1}{2\sqrt{ \alpha }}=\arcsin \dfrac{\alpha-1}{\alpha+1} \end{align}$$ **对数幅频值：** $$\begin{align} \dfrac{1}{2}\times 20 (\lg \dfrac{1}{T}-lg(\dfrac{1}{\alpha T}))=10\lg\alpha \end{align}$$ $$\begin{align} L(\omega _{m})=20\lg \left\lvert G_{c}(j\omega_{m} ) \right\rvert=10lg\alpha \end{align}$$ ### 对系统的影响 - **提高稳定裕度**：相角裕度变大，稳定性增强 - **改善动态性能**：[[稳定裕度\|截止频率]] $\omega_{c}$ 变大，[[频带宽度\|带宽频率]] 变大，响应时间减小 - **抗中高频干扰能力减弱**：中高段，降低抗干扰能力 ### 设计校正的步骤 1. 根据稳态要求，确定未校正系统的**放大系数** $K$ 2. 画出未校正系统 $G_{o}(s)$ 的Bode图 (**渐近特性图**) 求未校正系统的[[稳定裕度\|截止频率]] $\omega_{c}$ 与[[稳定裕度\|相角裕度]] $\gamma$ 注意是要**求渐近特性** 这里真正需要求的其实是在**期望截止频率处的幅值**，之后利用此数值作为超前校正拉高的值 3. 根据期望的截止频率计算出超前校正的相关参数 **最大超前角频率 = 期望的系统截止频率** 来计算相关参数： $\dfrac{1}{T\sqrt{ \alpha }}=\omega_{c}'$ 期望的截止频率满足此关系 $\left\lvert L(\omega_{c}') \right\rvert=10\lg\alpha$ 先计算未校正系统在期望截止频率处的对数幅值 此幅值作为校正环节 “抬高”的幅值 （本质上就是在此点处将幅值拉高，使之作为截止频率） 得到参数 $\alpha,T$ 4. 超前校正环节 $\alpha G_{c}(s)= \dfrac{1+\alpha Ts}{1+Ts}$ 为了补偿无源超前网络产生的增益衰减，放大器增益需提高 $\alpha$ 倍 5. **验证校正后系统的性能指标** 校正后的系统 $\alpha G_{c}(s)G_{o}(s)$ $$\begin{align} \gamma'=\varphi_{m}+\gamma(\omega _{c}') \end{align}$$