一、基本公式
1. 基本关系式
& \sin ^{2}\alpha+\cos ^{2}\alpha=1 \\ \\ & 1+\tan ^{2}\alpha=\sec ^{2}\alpha\\ \\ & 1+\cot ^{2}\alpha=\csc ^{2}\alpha \end{align}$$ #### 2. 诱导公式 ### 二、三角公式 ```mermaid graph LR 1[基本公式] --> 2[和差公式] 2--> 积化和差 & 和差化积 1 & 2 --> 3[倍角公式] 3 & 1 --> 降幂公式 ``` #### 1. 和差公式 三角公式的基础（[[向量\|向量]]证明两角差的余弦公式，再经过**诱导公式**推得其他式子） $$\begin{align} \cos(A-B)=\cos A\cos B+\sin A\sin B \\ \cos(A+B)=\cos A\cos B-\sin A\sin B \\ \sin (A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B \\ \sin(A-B)=\sin A\cos B-\cos A\sin B \end{align}$$ $$\begin{align} \tan(x+y)=\dfrac{\tan x+\tan y}{1-\tan x\tan y} \\ \\ \tan(x-y)=\dfrac{\tan x-\tan y}{1+\tan x\tan y} \end{align}$$ $$\begin{align} \arctan \dfrac{x-y}{1+xy}=\arctan x-\arctan y \end{align}$$ #### 2. 积化和差 $$\begin{align} \sin A\sin B=\dfrac{1}{2}(\cos(A-B)-\cos(A+B)) \\ \cos A\cos B=\dfrac{1}{2}(\cos(A-B)+\cos(A+B)) \\ \cos A\sin B=\dfrac{1}{2}(\sin(A+B)-\sin(A-B)) \\ \sin A\cos B=\dfrac{1}{2}(\sin(A+B)+\sin(A-B)) \end{align}$$ #### 3. 和差化积 $$\begin{align} \sin(A+B)+\sin(A-B)=2\sin A\cos B \\ \sin(A+B)-\sin(A-B)=2\cos A\sin B \\ \cos(A+B)+\cos(A-B)=2\cos A\cos B \\ \cos(A+B)-\cos(A-B)=-2\sin A\sin B \end{align}$$ 令 $A+B=\alpha,A-B=\beta$，则 $A=\dfrac{\alpha+\beta}{2},B=\dfrac{\alpha-\beta}{2}$ 得到一般意义上的和差化积 #### 4. 倍角公式 将三角的和差公式的不同角换为同一个角，即得到倍角公式（其中倍角余弦可以进一步根据三角函数基本关系得到不同的表达）： $$\begin{align} \sin 2A&=2\sin A\cos A \\ \cos 2A&=\cos ^{2}A-\sin ^{2}A \\ &=2\cos ^{2}A-1 \\ &=1-2\sin ^{2}A \end{align}$$ #### 5. 降幂公式 根据三角基本关系和倍角公式，可以进一步得到： $$\begin{align} \sin ^{2}A=\dfrac{1}{2}(1-\cos 2A) \\ \cos ^{2} A= \dfrac{1}{2} (1+\cos 2A) \end{align}$$ $$\begin{align} \sum\limits_{k=1}^{m} \cos kt =\cos \dfrac{m+1}{2} t\cdot \dfrac{\sin \dfrac{mt}{2}}{\sin \dfrac{t}{2}} \end{align}$$ #### 6. 半角公式\frac{\sin\theta}{1-\cos\theta}=\cot\frac{\theta}{2}
$1-\cos\theta=2\sin^2(\theta/2)$ , $\sin\theta=2\sin(\theta/2)\cos(\theta/2)$