Binomial Distribution
P_{n}(k)=P\left\{X=k \right\}=B(k,n,p)=C_{n}^{k}p^{k}q^{n-k} \end{align}$$ - $X$ 为 [[事件的独立性\|n重伯努利试验]]中 $A$ 出现的次数 - $n$ 为总的试验次数 - $p$ 为每次试验 $A$ 发生的概率 - $q$ 为对立事件发生的概率 $q=1-p$ **期望**： $E(X)=np$ **方差**： $D(X)=np(1-p)$ 出现的项恰好为[[二项式定理\|二项式定理]]的二项式系数，故称 **二项分布** ### 两点分布 当二项分布 $n=1$ 时，为两点分布/0-1 分布/伯努利分布 $X\sim B(1,p)$ $$\begin{align} P(X=x)=p^{x}(1-p)^{1-x} \end{align}$$ **期望**： $E(X)=p$ **方差**： $D(X)=p(1-p)$ ### 公平硬币与正态近似 若进行 $N$ 次公平硬币投掷，令 $X$ 为正面次数，则X\sim B\left(N,\frac12\right),\qquad P(X=k)=\binom Nk\frac{1}{2
E[X]=\frac N2,\qquad \operatorname{Var}(X)=N\cdot\frac12\cdot\frac12=\frac N4.
$N=3$ 时，$0,1,2,3$ 次正面的概率为P(X=0,1,2,3)=\frac18(1,3,3,1),
E[X]=0\cdot\frac18+1\cdot\frac38+2\cdot\frac38+3\cdot\frac18=1.5.
$N=4$ 时，$0,1,2,3,4$ 次正面的概率正好是二项式系数归一化：P(X=0,1,2,3,4)=\frac{1}{16}(1,4,6,4,1).
这个离散分布以 $N/2$ 为中心，标准差为 $\sqrt N/2$。标准化后Z=\frac{X-N/2}{\sqrt N/2},
当 $N$ 增大时趋近标准[[正态分布\|正态分布]]，这就是 De Moivre-Laplace 型的[[中心极限定理\|中心极限定理]]。 ### 中心概率与 Stirling 近似 当 $N$ 为偶数时，中心点 $X=N/2$ 的概率为P(X=N/2)=\frac{1}{2
N!\approx \sqrt{2\pi N}\left(\frac Ne\right)
P(X=N/2)\approx \frac{\sqrt2}{\sqrt{\pi N}} =\frac{1}{\sqrt{2\pi},\sigma}, \qquad \sigma=\frac{\sqrt N}{2}.
这与均值 $N/2$、方差 $N/4$ 的正态近似在中心处的密度高度相匹配。 ### 使用边界 - 二项分布要求每次试验独立，且成功概率 $p$ 在各次试验中相同。 - 当 $p$ 接近 $0$ 或 $1$、样本量不大时，正态近似可能偏差明显。 - 正态近似用于区间概率时，常需要连续性修正，例如用 $P(a-0.5<X<b+0.5)$ 近似离散区间。