Normal Distribution
随机变量服从参数为 、 的正态分布/高斯分布 (高斯加以推广)
广泛应用的最重要的一种分布，展现了大自然均衡的力量
一、基础知识
正态分布的概率密度函数 和分布函数 分别如下：
f(x)&= \frac{1}{\sqrt{ 2\pi }\sigma} {\huge e}^{ - \dfrac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}} } \quad -\infty<x<+\infty\\ \\ F(x)&= \frac{1}{\sqrt{ 2\pi }\sigma} \int _{-\infty}^{x} \exp\left( - \frac{(t-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}} \right)\, dt \\ \end{align}$$  **期望**： $E(X)=\mu$，位置参数 **方差**： $D(X)=\sigma^{2}$，形状参数 ### 二、标准正态分布 $X\sim N(0,1)$ $$\begin{align} \varphi(x)&= \frac{1}{\sqrt{ 2\pi }} e^{ - x^{2}/2 } \quad -\infty<x<+\infty\\ \varPhi(x)&=\frac{1}{\sqrt{ 2\pi }} \int _{-\infty}^{x} \exp\left( - \frac{t^{2}}{2} \right)\, dt \end{align}$$ $$\begin{align} \int _{-\infty}^{+\infty} \dfrac{1}{\sqrt{ 2\pi }} e^{ - t^{2}/2 } \, dt=1 \end{align}$$ >标准正态分布的分布函数的值有表可查，所以一般都转为标准正态分布计算 #### 一般正态分布标准化 $X\sim N(\mu,\sigma^{2})\quad Y=\dfrac{X-\mu}{\sigma} \quad Y\sim N(0,1)$ #### 一般的计算 根据图像，容易得到：如果 $X\sim N (0,1)$ 满足标准正态分布，则有 $$\begin{align} & P\left\{X\leq -x \right\}=P\left\{X \geq x\right\}\\ & P\left\{X>x \right\}=1-P\left\{X\leq x \right\}=1-\Phi(x) \\ & P\left\{x_{1}<X<x_{2} \right\}=\Phi(x_{2})-\Phi(x_{1}) \\ & P\left\{-x<X<x \right\}=2\Phi(x)-1 \end{align}$$ #### 特定积分值 从中得到的特定的[[定积分\|积分]]值： $$\begin{align} \int _{-\infty}^{+\infty} e^{ -x^{2}/2 }\, dx &=\sqrt{ 2\pi } \quad \int _{0}^{+\infty} e^{ -x^{2}/2 }\, dx =\dfrac{\sqrt{ 2\pi }}{2} \end{align}$$ ### 3σ原则 如果随机变量服从 $X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，则 $X$ 落到 $(\mu-3\sigma,\mu+3\sigma)$ 的概率相当大，几乎必然落到这个区间 $$\begin{align} P\left\{|X-\mu|<\sigma \,\,\right\}&=0.6826 \\ P\left\{|X-\mu|<2\sigma \right\}&=0.9545 \\ P\left\{|X-\mu|<3\sigma \right\}&=0.9974 \\ \end{align}$$ ### 上 $\alpha$ 分位点 [[上分位点\|上分位点]]（只是一个记号，将一个点和大于该点的概率联系起来） $$\begin{align} &P\left\{X>Z_{\alpha} \right\}=\alpha\quad 0<\alpha<1 \\ & \varPhi(Z_{\alpha})=1-\alpha \\ & Z_{1-\alpha }=-Z_{\alpha} \end{align}$$ ### 扩展与应用 [[多维正态分布\|多维正态分布]] [[正态总体的假设检验\|正态总体的假设检验]] [[随机过程#正态过程\|随机过程#正态过程]] --- ## AI 结构化补充（2026-05-02） **Normal Distribution** $X\sim N(\mu ,\sigma^{2})$ 随机变量服从参数为 $\mu$ 、 $\sigma$ 的正态分布/高斯分布 (高斯加以推广) > 广泛应用的最重要的一种分布，展现了大自然均衡的力量 - [[中心极限定理\|中心极限定理]]：一个随机变量如果受到许多随机因素的影响，而其中每一个因素都不起主导作用，则满足正态分布 - [[二项分布\|二项分布]]、[[泊松分布\|泊松分布]]、[[伽马分布\|伽马分布]]的极限分布均为正态分布 ### 一、基础知识 正态分布的概率密度函数 $f(x)$ 和分布函数 $F(x)$ 分别如下： $$\begin{align} \\ f(x)&= \frac{1}{\sqrt{ 2\pi }\sigma} {\huge e}^{ - \dfrac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}} } \quad -\infty<x<+\infty\\ \\ F(x)&= \frac{1}{\sqrt{ 2\pi }\sigma} \int _{-\infty}^{x} \exp\left( - \frac{(t-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}} \right)\, dt \\ \end{align}$$  **期望**： $E(X)=\mu$，位置参数 **方差**： $D(X)=\sigma^{2}$，形状参数 ### 二、标准正态分布 $X\sim N(0,1)$ $$\begin{align} \varphi(x)&= \frac{1}{\sqrt{ 2\pi }} e^{ - x^{2}/2 } \quad -\infty<x<+\infty\\ \varPhi(x)&=\frac{1}{\sqrt{ 2\pi }} \int _{-\infty}^{x} \exp\left( - \frac{t^{2}}{2} \right)\, dt \end{align}$$ $$\begin{align} \int _{-\infty}^{+\infty} \dfrac{1}{\sqrt{ 2\pi }} e^{ - t^{2}/2 } \, dt=1 \end{align}$$ >标准正态分布的分布函数的值有表可查，所以一般都转为标准正态分布计算 #### 一般正态分布标准化 $X\sim N(\mu,\sigma^{2})\quad Y=\dfrac{X-\mu}{\sigma} \quad Y\sim N(0,1)$ #### 一般的计算 根据图像，容易得到：如果 $X\sim N (0,1)$ 满足标准正态分布，则有 $$\begin{align} & P\left\{X\leq -x \right\}=P\left\{X \geq x\right\}\\ & P\left\{X>x \right\}=1-P\left\{X\leq x \right\}=1-\Phi(x) \\ & P\left\{x_{1}<X<x_{2} \right\}=\Phi(x_{2})-\Phi(x_{1}) \\ & P\left\{-x<X<x \right\}=2\Phi(x)-1 \end{align}$$ #### 特定积分值 从中得到的特定的[[定积分\|积分]]值： $$\begin{align} \int _{-\infty}^{+\infty} e^{ -x^{2}/2 }\, dx &=\sqrt{ 2\pi } \quad \int _{0}^{+\infty} e^{ -x^{2}/2 }\, dx =\dfrac{\sqrt{ 2\pi }}{2} \end{align}$$ ### 3σ原则 如果随机变量服从 $X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，则 $X$ 落到 $(\mu-3\sigma,\mu+3\sigma)$ 的概率相当大，几乎必然落到这个区间 $$\begin{align} P\left\{|X-\mu|<\sigma \,\,\right\}&=0.6826 \\ P\left\{|X-\mu|<2\sigma \right\}&=0.9545 \\ P\left\{|X-\mu|<3\sigma \right\}&=0.9974 \\ \end{align}$$ ### 上 $\alpha$ 分位点 [[上分位点\|上分位点]]（只是一个记号，将一个点和大于该点的概率联系起来） $$\begin{align} &P\left\{X>Z_{\alpha} \right\}=\alpha\quad 0<\alpha<1 \\ & \varPhi(Z_{\alpha})=1-\alpha \\ & Z_{1-\alpha }=-Z_{\alpha} \end{align}$$ ### 扩展与应用 [[多维正态分布\|多维正态分布]] [[正态总体的假设检验\|正态总体的假设检验]] [[随机过程#正态过程\|随机过程#正态过程]] ### 标准化与概率尺度 正态分布的重要性来自中心极限定理：许多重复实验的平均值会趋近正态。标准正态为p(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}, \qquad E[x]=0,\qquad E[x
X=\frac{x-m}{\sigma}.
常用概率尺度是：随机值落在 $m-\sigma$ 到 $m+\sigma$ 的概率约为 $2/3$，落在 $m-2\sigma$ 到 $m+2\sigma$ 的概率约为 $0.95$。这正是标准化后用 $F(1)-F(-1)$、$F(2)-F(-2)$ 读密度曲线下的面积。 ### 平移缩放与分布函数 标准正态分布写作 $Z\sim N(0,1)$，密度为p_Z(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x
X=m+\sigma Z,\qquad p_X(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-(x-m)^2/(2\sigma
F_X(x)=P(X\le x)=\Phi\left(\frac{x-m}{\sigma}\right),
\Phi(x)=\int_{-\infty}^{x}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-t
$\Phi(x)$ 没有初等函数闭式，实际计算依赖数值积分、查表或统计软件。区间概率仍由面积给出：P(a\le X\le b)=F_X(b)-F_X(a).
P(|X-m|\le \sigma)\approx \frac23,\qquad P(|X-m|\le 2\sigma)\approx 0.95.
这些近似适用于正态模型本身；对重尾分布、偏态分布或样本量很小的经验分布，不能直接把 $1\sigma$、$2\sigma$ 当作同样的概率保证。