伽马分布

Gamma Distribution $X\sim Ga(\alpha ,\lambda )$

\dfrac{\lambda^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{ -\lambda x }\quad x\geq 0 \\ \\ \quad \quad 0\quad \quad \quad \quad \quad x<0 \end{cases}$$ - $\alpha>0$ 为形状参数 - $\lambda>0$ 为尺度参数 [[伽马函数\|伽马函数]]： $$\begin{align} \Gamma(\alpha)=\int _{0}^{+\infty} x^{\alpha-1}e^{ -x }\, dx \quad \alpha>0 \end{align}$$ 通常用于模拟具有指数增长或衰减过程的随机变量，例如等待时间、放射性衰变、机器故障时间等。 ### 两个特例 #### 指数分布 $\alpha=1$ 时，为 [[指数分布\|指数分布]] $\alpha$ 个指数分布的独立随机变量的加总为伽马分布 #### $\chi^{2}$ 分布 $\alpha= \dfrac{n}{2}\quad \lambda=\dfrac{1}{2}$ 时，为自由度为 n 的 $\chi^{2}$ 分布（[[卡方分布\|卡方分布]]）