Fourier Fransform FT
\Huge \mathscr{F} \end{align}$$ ### 一、傅里叶变换 由[[傅里叶积分\|傅里叶积分]]出发： $$\begin{align} f(t)= \dfrac{1}{2\pi} \int _{-\infty}^{+\infty} \int _{-\infty}^{+\infty}\left[f(\tau)e^{ -j\omega \tau }d\tau\right]e^{ j\omega t }\, d\omega \end{align}$$ **傅里叶变换**：揭示了信号的频率成分，将信号从时域（或空间域）转换到频域 $$\begin{align} F(\omega )&=\int _{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{ -j\omega t} \, dt =\mathscr{F}[f(t)] \end{align}$$ - $\omega$ 是角频率，单位是弧度/秒。 - $j$ 是虚数单位。 **傅里叶逆变换**：将频域的频谱函数 $F(\omega)$ 转换回时域的原始函数 $f(t)$ 的过程 $$\begin{align} f(t) &=\dfrac{1}{2\pi} \int _{-\infty}^{+\infty} F(\omega ) e^{ j\omega t }\, d\omega =\mathscr{F}^{-1}[F(\omega )] \end{align}$$ $F(\omega)$ 和 $f(t)$ 构成一个 **Fourier 变换对** - $F(\omega)$ 称为 $f(t)$ 的像函数 - $f(t)$ 称为 $F(\omega)$ 的像原函数 在频谱分析中：$F(\omega)$ 称为 $f(t)$ 的**频谱密度函数**，也即**频谱** - $\left\lvert F(\omega) \right\rvert$ 称为 $f(t)$ 的振幅频，表示信号在不同频率分量上的强度。 - $arg\; F(\omega)$ 称为 $f(t)$ 的相位谱，表示不同频率分量之间的相位关系。 对一个时间函数求 Fourier 变换，也就是求这个时间函数的频谱函数，也即：**求积分表达式** $$\begin{align} \int _{-\infty}^{+\infty} F(\omega )\, d\omega =2\pi f(t) \end{align}$$ > 一般而言：这里求积分表达式只需要把 $F(\omega)$ 写为 $\omega$ 的函数即可，不用再进行下去了 > 注意分段的表达，也要注意间断点处为左右极限的平均值 >[!important] 注意 > >计算傅里叶变换与逆变换时，首先要根据定义计算 >- 注意定理的使用条件 >- 明确积分的区间，注意间断点 > > 计算过程中，一些可使用的技巧： >- 常使用[[欧拉公式\|欧拉公式]]将指数函数用三角函数表达 > $e^{ j\omega }=\cos \omega+j\sin \omega$ >- 经常利用[[函数基本性质\|奇偶性]]简化积分计算 >- **要时刻注意积分变量是谁！** > 一是：明确被积函数的奇偶性（一定要整体考虑所有包含积分变量的函数），简化积分运算 > 二是：代入积分限时，注意代入到哪个变量里去 ### 二、广义傅里叶变换 #### 经典傅里叶变换的局限性 1. 傅里叶级数和傅里叶变换以不同形式反映了**周期函数**和**非周期函数**的频谱特性。 2. 经典的傅里叶变换要求函数满足“绝对可积”条件，使用往往容易受限。 **广义傅里叶变换**通过引入[[冲激函数\|冲激函数]]等广义函数，极大扩展了傅里叶变换的应用范围，将离散的频谱以连续频谱的方式表现出来，统一了周期函数和非周期函数（傅里叶级数和傅里叶变换）的频谱分析。 $$\begin{align} \mathscr{F}[\delta(t)]=\int _{-\infty}^{+\infty} \delta(t)e^{ -i\omega t } \, dt=e^{ -i\omega t }|_{t=0}=1 \end{align}$$ $$\begin{align} \mathscr{F}^{-1}[1] =\dfrac{1}{2\pi} \int _{-\infty}^{+\infty} e^{ i\omega t }\, d\omega =\delta(t) \end{align}$$ 此时[[冲激函数\|冲激函数]]的傅里叶变换仍然采用傅里叶变换的古典定义，但是反常积分是根据冲激函数的性质直接给出的，并非普通意义下的积分值，运用此概念可以将一些常见的函数进行傅里叶变换（尽管它们不满足绝对可积条件） >[!important] 注意 > >由于冲激函数的引入，扩展了傅里叶变换的应用范围，并且统一了周期函数和非周期函数的积分表达 >由经典的傅里叶积分得到的傅里叶变换一般需要“绝对可积”的条件，但是广义的傅里叶变换不一定需要“绝对可积” ### 三、常见函数的傅里叶变换 $$\begin{align} \mathscr{F}[\delta(t)]&=1 \\ \mathscr{F}[1]&=2\pi \delta(\omega ) \\ \mathscr{F}[t^{n}]&=2\pi j^{n}\delta^{(n)}(\omega ) \\ \mathscr{F}[e^{ j\omega_{0} t}]&=2\pi \delta(\omega -\omega _{0}) \\ \end{align}$$ **单位阶跃函数** $$u(t)=\begin{cases} 1 \quad ,t>0\\ 0\quad ,t<0 \end{cases}$$ $$\begin{align} \mathscr{F}[u(t)]= \dfrac{1}{j\omega }+\pi \delta(\omega ) \end{align}$$ **单边衰减指数函数** $$f(t)=\begin{cases} e^{ -at }\quad t\geq0 \\ 0\quad \quad t<0 \end{cases}$$ $$\begin{align} \mathscr{F}[f(t)]= \dfrac{1}{a+j\omega } \end{align}$$ ### 四、傅里叶变换的性质 傅里叶变换具有许多重要的性质，这些性质在信号分析和系统设计中非常有用： #### 1. 线性性质 $$\begin{align} \mathscr{F}[c_{1}f_{1}(x)+c_{2}f_{2}(x)]&=c_{1}F_{1}(\omega )+c_{2}F_{2}(\omega ) \end{align}$$ #### 2. 位移性质 $$\begin{align} \mathscr{F}[f(t\pm t_{0})]=e^{ \pm i\omega t_{0} } F(\omega ) \end{align}$$ $$\begin{align} \mathscr{F}^{-1}[F(\omega -\omega _{0})]=e^{ j\omega _{0}t }f(t) \end{align}$$ #### 3. 延迟性质 $$\begin{align} \mathscr{F}[e^{ \pm i\omega _{0}x }f(x)]=F(\omega \mp \omega _{0}) \end{align}$$ #### 4. 相似性质 $$\begin{align} \mathscr{F}[f(ax)]= \dfrac{1}{\left\lvert a \right\rvert} F(\dfrac{\omega}{a}) \end{align}$$ #### 5. 微分性质 $$\begin{align} \mathscr{F}[f'(x)]&=i\omega F(\omega ) \\ \mathscr{F}[f^{(n)}(x)]&=(i\omega )^{n}F(\omega ) \end{align}$$ 偏微分方程 $\xrightarrow{FT}$ 常微分方程 $\xrightarrow{FT}$ 代数方程 这个性质在求解微分方程时非常有用，可以将微分方程转换为代数方程。 #### 6. 积分性质 $$\begin{align} \mathscr{F}\left[\int _{x_{0}}^{x} f(\xi)\, d\xi \right]= \dfrac{1}{i\omega } F(\omega ) \end{align}$$ #### 7. 卷积性质 [[卷积\|卷积]]定义： $$\begin{align} f_{1}(t)*f_{2}(t)=\int _{-\infty}^{+\infty} f_{1}(\tau)f_{2}(t-\tau)\, d\tau \end{align}$$ 时域卷积定理：时域的卷积对应频域的乘积： $$\begin{align} \mathscr{F}[f_{1}(x)*f_{2}(x)]&=F_{1}(\omega )F_{2}(\omega ) \end{align}$$ 频域卷积定理：时域的乘积对应频域的卷积： $$\begin{align} \mathscr{F}[f_{1}(x)\cdot f_{2}(x)]&=\dfrac{1}{2\pi} F_{1}(\omega )*F_{2}(\omega ) \end{align}$$ ### 直观展示 https://www.jezzamon.com/fourier/index.html ### 正交投影视角 傅里叶思想可以用线性代数概括：把函数或信号写成谐波之和 $c_k e^{ikx}$，再在物理空间取值与频率空间系数之间切换。在函数空间中，内积由积分给出，长度平方为信号处理的本质，将函数（通常是时间域或空间域的信号）分解成在不同频率上的正弦和余弦波（或复指数函数）的叠加
|f|^2=\int_0^{2\pi}|f(x)|