Dirac Delta Function
狄拉克函数，单位冲激函数 ，属于广义函数（一般通过积分定义）
统一周期函数和非周期函数的傅里叶变换，将离散的频谱以连续的频谱表现出来
一、基本定义
单位脉冲函数 的弱极限为单位冲激函数：
\dfrac{1}{\varepsilon} , 0<t<\varepsilon\\ \\ \;0\;, \quad \text{其他} \end{cases}$$ $$\begin{gathered} \delta(t)=\lim\limits_{ \varepsilon \to 0 } \delta_{\varepsilon}(t)=\begin{cases} \infty & t=0 \\ 0 & t\neq 0 \end{cases} \;\quad {\color{red}\Rightarrow} \; \quad \int _{-\infty}^{+\infty} \delta(t)\, dt=1 \end{gathered}$$ ### 二、重要性质 #### 1. 筛选性质 $f(t)$ 为无穷次可微的函数 $$\begin{align} \int _{-\infty}^{+\infty} \delta(t)f(t)\, dt&=\lim\limits_{ \varepsilon \to 0 } \int _{-\infty}^{+\infty}\delta_{\varepsilon}(t)f(t) \, dt \\ &=\lim\limits_{ \varepsilon \to 0 } \int _{0}^{\varepsilon} \dfrac{1} {\varepsilon} f(t)\, dt \\ &=f(0) \end{align}$$ $$\begin{align} \int _{-\infty}^{+\infty} \delta(t-t_{0})f(t)\, dt=f(t_{0}) \end{align}$$ #### 2. 导数性质 $f(t)$ 为无穷次可微的函数 $$\begin{align} \int _{-\infty}^{+\infty} \delta'(t)f(t)\, dt= -f'(0) \end{align}$$ $$\begin{align} \int _{-\infty}^{+\infty} \delta(t)^{(n)}f(t)\, dt=(-1)^{n} f^{(n)}(0) \end{align}$$ #### 3. 偶函数性质 $$\delta(t)=\delta(-t)$$ #### 4. 尺度变换性质 $$ \begin{align} \delta(bt-a)= \dfrac{1}{\left\lvert b \right\rvert }\delta(t- \dfrac{a}{b}) \end{align}$$ #### 5. 卷积性质 [[卷积\|卷积]] $$\begin{align} f(t)*\delta(t)&=\int _{-\infty}^{+\infty} f(\tau)\delta(t-\tau)\, d\tau = f(t) \end{align}$$ $$\begin{align} \int _{t_{1}}^{t_{2}} \delta(t-b-\tau)\delta(\tau-a)\, d\tau=\delta(t-b-a) \end{align}$$ #### 6. 乘以时间函数 $$\begin{align} \varphi(t)\delta(t-a)=\varphi(a)\delta(t-a) \end{align}$$ ### 三、傅里叶变换 根据筛选性质有： $$\begin{gathered} \mathscr{F}[\delta(t)]=\int _{-\infty}^{+\infty} \delta(t)e^{ -i\omega t } \, dt=e^{ -i\omega t }|_{t=0}=1 \\ \mathscr{F}^{-1}[1] =\dfrac{1}{2\pi} \int _{-\infty}^{+\infty} e^{ i\omega t }\, d\omega =\delta(t) \end{gathered}$$ 单位冲激函数包含各种频率分量，并且有相等的幅度，称为**白色频谱/均匀频谱** $$\begin{align} \mathscr{F}[1]=\int _{-\infty}^{+\infty} e^{ -j\omega t }\, dt= \int _{-\infty}^{+\infty} e^{ j\omega \tau }\, d\tau =2\pi\delta(\omega) \end{align}$$ $$\begin{gathered} \mathscr{F}[\delta(t-t_{0})]=\int _{-\infty}^{+\infty} \delta(t-t_{0})e^{ -i\omega t } \, dt=e^{ -i\omega t_{0} }\\ \mathscr{F}^{-1}[e^{ -i\omega t_{0} }] =\dfrac{1}{2\pi} \int _{-\infty}^{+\infty} e^{ -i\omega t_{0} }e^{ i\omega t }\, d\omega =\dfrac{1}{2\pi} \int _{-\infty}^{+\infty} e^{ -i (t+t_{0} ) \omega}\, d\omega=\delta(t-t_{0}) \\ \end{gathered}$$ 注意，形式上的变量可以替换： $$\begin{align} \delta(\omega -\omega _{0})&= \dfrac{1}{2\pi}\int _{-\infty}^{+\infty} e^{-it \omega _{0} }e^{ it \omega } \, dt = \dfrac{1}{2\pi}\int _{-\infty}^{+\infty} e^{-i (\omega +\omega _{0} ) t} \, dt \end{align}$$ ### 工程上的意义 - 冲激函数是一个理想化的数学工具，用于在积分中描述瞬时能量或质量的集中。 - 它在除了零点以外的所有点都为零，而在零点处其“强度”是无穷大。 - 冲激函数的积分在整个定义域上等于 1，即 $\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) \, dt=1$ - 冲激函数没有实际的物理意义，因为现实中没有任何信号能真正达到无穷大的幅度和无穷窄的宽度。 但在某些情况下，冲激函数可以被用来近似[[脉冲函数\|脉冲函数]]的效应，特别是在分析 [[线性时不变系统\|线性时不变系统]]的响应时。在信号处理的离散时间域中，冲激函数可以用来近似一个采样脉冲，这个采样脉冲在时间轴上具有非常窄的宽度，但仍然具有有限的幅度和持续时间。