卡方分布

Chi-Square Distribution ${\chi }^2\sim {\chi }^2(n)$ ${\chi }^2$ 分布 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 取自正态总体 $N(0,1)$ 的样本, 则统计量 ${\chi }^2=X_1^2+X_2^2+\cdots +X_n^2$ ，所服从的分布为自由度为 $n$ 的 ${\chi }^2$ 分布。（概率密度函数与伽马函数相关）

一、基本性质

一般形式

$X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 分别服从正态分布 $N({\mu }_i,{\sigma }_i^2)$

\chi^{2}=\sum\limits_{i=1}^{n} \dfrac{1}{\sigma_{i}^{2}}(X_{i}-\mu_{i})^{2}\sim \chi^{2}(n) \end{align}$$ #### 可加性 $X\sim \chi^{2}(m)\quad Y\sim \chi^{2}(n)$ 如果 $X,Y$ 相互[[随机变量的独立性\|独立]]，则和的分布满足：$X+Y\sim \chi^{2}(m+n)$ #### 期望与方差 **期望：** $E(\chi^{2})=n$ **方差：** $D(\chi^{2})=2n$ $X_{i}\sim N(0,1)$ $E(X_{i})^{2} =1$ $E(\chi^{2})=\sum\limits_{i=1}^{n}E(X_{i}^{2})=n$ $E(X_{i})^{4}=3$ $D(X_{i}^{2})=E(X_{i}^{4})-(E(X_{i}^{2}))^{2}=3-1=2$ $D(\chi^{2})=\sum\limits_{i=1}^{n}D(X_{i}^{2})=2n$ *** $E\left( \sum\limits_{i=1}^{n} (X_{i}-\overline{X})^{2} \right)=(n-1)\sigma^{2}$ $D\left( \sum\limits_{i=1}^{n} (X_{i}-\overline{X})^{2} \right)=2(n-1)\sigma^{4}$ $E\left( \sum\limits_{i=1}^{n} (X_{i}-\mu)^{2} \right)=n\sigma^{2}$ $D\left( \sum\limits_{i=1}^{n} (X_{i}-\mu)^{2} \right)=2n\sigma^{4}$ #### 极限性质 [[中心极限定理\|中心极限定理]]知：$X\sim \chi^{2}(n)$ 当 n 充分大时，$\dfrac{X-n}{\sqrt{ 2n }}\sim N(0,1)$，近似为正态分布