均值

Mean 平均值；中心位置

一、基本定义

均值是描述一组数或一个随机变量中心位置的量。根据对象不同，均值至少有两种常见含义：

• 样本均值：对已经观察到的数据求算术平均。
• 概率均值：对随机变量的可能取值按概率加权，也就是期望。

二者都刻画“中心”，但前者来自实际样本，后者来自概率模型。

二、样本均值

给定 $N$ 个已经观察到的样本值 $x_1,\dots ,x_N$，样本均值为

$$\mu =\frac{x_1+\cdots +x_N}{N}.$$

例如五个新生年龄为 $18,17,18,19,17$，则

$$\mu =\frac{18+17+18+19+17}{5}=\mathrm{17.8.}$$

样本均值只说明这一次样本实际呈现的平均水平。换一组样本，即使总体概率规律不变，样本均值也可能变化。

三、概率均值与期望

若随机变量 $x$ 可能取值为 $x_1,\dots ,x_n$，对应概率为 $p_1,\dots ,p_n$，且 $p_i\ge 0$、${\sum }_i{p}_i=1$，则概率均值为

$$m=E[x]=p_1{x}_1+\cdots +p_n{x}_n=\mathbf{p}\cdot \mathbf{x}.$$

例如新生年龄为 $17,18,19$ 的概率分别是 $.2,.5,.3$，随机抽一名新生的期望年龄是

$$m=E[x]=(.2)17+(.5)18+(.3)19=\mathrm{18.1.}$$

这与上一节的 $17.8$ 不冲突：$17.8$ 是已经抽到五个人后的样本均值，$18.1$ 是概率模型下尚未抽样时的长期中心。

连续随机变量用概率密度 $p(x)$ 表示时，均值写成积分：

$$m=E[x]={\int }_{-\infty }^{\infty }xp(x)dx.$$

四、大数定律

如果样本来自同一概率模型，并满足相应独立或弱依赖条件，样本均值会随着样本量增加而趋近期望。公平硬币中令正面为 $1$、反面为 $0$，则

$$E[x]=\frac{1}{2}\cdot 1+\frac{1}{2}\cdot 0=\frac{1}{2}.$$

$N$ 次投掷中正面的比例就是样本均值，大数定律说明它在长期会趋近 $\frac{1}{2}$。若采用强大数律的表述，这个收敛是以概率 $1$ 成立的，因此也称为几乎必然收敛。

需要注意的是，长期趋近不等于短期补偿。若投掷相互独立，前面连续出现多次反面，并不会提高下一次正面的概率；下一次正面的概率仍是 $\frac{1}{2}$。已经发生的结果只会改变当前有限样本的均值，不会改变独立试验下一次的概率。

五、与方差和标准差

均值给出中心位置，方差衡量取值离中心的平方距离平均，标准差是方差的平方根。样本方差围绕样本均值计算，概率方差围绕期望计算：

$$S^2=\frac{1}{N-1}\sum _{i=1}^N(x_i-\mu {)}^2,{\sigma }^2=E[(x-m{)}^2].$$

当所有取值都等于同一个常数时，均值等于该常数，方差和标准差都为 $0$。此时围绕均值没有离散程度，含有除以标准差的标准化表达式不能直接使用。

六、边界条件

• 样本均值需要明确样本范围；加入或删除观测值会改变结果。
• 概率均值需要概率非负且总和为 $1$；无限离散或连续情形还需要相应求和或积分收敛。
• 大数定律描述大量样本下的收敛趋势，不保证小样本已经接近期望。
• 独立重复试验没有“欠账补偿”；过去结果不会自动改变下一次试验概率。